Лінійна залежність

Date: 2015-10-07; view: 513.

Нехай вектора із лінійного простору — дійсні числа. Вектор називають лінійною комбінацією .

Очевидно, при . Але може бути, що лінійна комбінація у=0, хоча не всі коефіцієнти перетворюються в нуль. Тоді говорять, що лінійно залежні.

Визначення. Вектора називають лінійно залежними, якщо існують числа , не всі рівні нулю и такі, що

. (*)

Якщо рівняння (*) можливе лише при , то — лінійно незлежні. Наприклад, на площині два вектора и лінійно залежні тоді и тільки тоді, коли и колінеарні. У просторі же лінійна незалежність векторів еквівалентна їх некомпланарності.

Як було показано (юніта 1), система векторів

із арифметичного простору лінійно незалежна.

Розглянемо декілька прикладів лінійно незалежних систем векторів у просторі — неперервно диференційованих функцій на відрізку .

Приклад 1. Пара функцій лінійно незалежні на будь якому відрізку . Дійсно, складемо лінійну комбінацію, прирівняємо її до 0-вектору простору . Нульовим елементом цього простору являється функція, приймаюча значення нуль у всіх точках відрізку , тобто (відрізок осі ОХ).

Це рівняння повинно виконуватися для всіх x із . Нехай х=0 спочатку, потім покладемо (вважаємо, що 0 і належать ), отримуємо: , . Умови лінійної незалежності віконані.

Система же функцій в тому же просторі — лінійно залежна, так як має місце тотожність , тут .

Приклад 2. Розглянемо простір многочленів ступеня . Система функцій лінійно незалежна.

Складемо їх лінійну комбінацію, зрівняємо нуль — вектору и знайдемо коефіцієнт :

Продиференціюємо послідовно три рази останнє рівняння, враховуючи, що похідні нуль — функції рівні нулю тотожно, отримаємо

Звідси отримаємо .

Зауважимо, що взагалі система функцій лінійно незалежна у просторі многочленів ступеня , при будь якому .

Звідси слідує, що многочлен ступеня n тотожно дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі його коефіцієнти рівні нулю, а два многочлена ступеня n рівні, якщо співпадають їх коефіцієнти при однакових ступенях х.

Надалі ми познайомимося і з іншими лінійно незалежними системами в .

Лема 1. Якщо серед векторів маються лінійно залежні, то и вся система лінійно залежна.

Дійсно, якщо лінійно залежна підсистема, то існує нетривіальна лінійна комбінація із цих векторів що дорівнює нуль-вектору:

(не всі рівні нулю). (*)

Тоді приписав до (*) останні вектора системи з нульовими коефіцієнтами, отримаємо

(**)

і лінійна комбінація (**) також нетривіальна. Таким чином всяка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Лема 2. Вектора лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли хоч би один із них є лінійна комбінація інших. Доказ очевидно відразу же із визначення лінійної залежності.

Лема 3. Якщо в систему векторів входить 0-вектор, то вона лінійно залежна, так як існує, наприклад, лінійна комбінація , де С — будь яке, .