Базис і координати

Date: 2015-10-07; view: 416.

Поняття базису простору вже обговорювалося раніше. Аналогічно визначається базис будь якого лінійного простору.

Визначення. Кінцева система векторів називається базисом лінійного простору V, якщо:

а) вектори лінійно незалежні;

б) будь який вектор простору V представляється у вигляді лінійної комбінації векторів базису:

. (*)

Коефіцієнти розкладання (*) визначаються однозначно і називаються координатами вектора в базисі . Дійсно, у іншому випадку, якщо і , де нульову лінійну комбінацію векторів , де не всі коефіцієнти рівні нулю. Це суперечить умові лінійної незалежності системи .

З єдиності розкладання слідує що два вектора рівні, якщо співпадають їх координати по будь якому базису.

Приклади.

1. В просторі трійка векторів представляють базис, а координатами будь якого вектору по цьому базису являються проекції вектора на координатні осі.

2. Стандартним базисом в просторі служить система лінійно незалежних векторів ; і кожний вектор .

3. В просторі многочленів ступеня функції утворюють базис. Лінійна незалежність цієї системи вже перевірялася. Координати будь якого многочлена по даному базису рівні . Введення базису дозволяє перейти від лінійних операцій над координатами, тобто до звичних операціях над числами.