Теорема. При додаванні векторів їх відповідні координати складаються, при множенні вектора на число всі координати його множаться на те саме число.
Date: 2015-10-07; view: 489.
Перейдемо до поняття розмірності и простору.
Вивчаючи аналітичну геометрію, ми помітили, що на прямій не існує двох лінійно нерозвинених векторів; на площині будь яка пара не колінеарних векторів лінійно незалежна, але кожні три вектора вже лінійно залежні; в просторі же існує лінійно
незалежні трійки векторів (неколінеарних), але вже будь-які чотири вектори лінійно залежні.Згадані простору відрізняються своєю розмірністю * {
При вивченні простору R "(кжіта 1) ми переконалися, що в просторі можна вибрати різні базиси Всі вони володіють важливою властивістю - число їх векторів однаково.
Ця властивість справедливо для будь-якого лінійного простору Иц Визначення. Число векторів у всіх базисах простору V однаково. Це число називається розмірністю простору V і
позначати dim! '.
Якщо dim Г-л, то будь-які п лінійно незалежних векторів простору V утворюють базис. Тому пряма лінія - одномірне простір, площина - двумерна, а звичне нам простір - трехмерно.
Якщо в просторі можна вибрати будь-яке число лінійно; незалежних векторів, то його називають безконечномірним.
У просторі многочленів ступеня але вище п є базис
| З (/ * +1) вектора, тому розмірність цього простору.
дорівнює (/ 7-t)). Простір же всіх неперервних на відрізку (ajf)
функції не є конечномірні. Ми будемо розглядати простору, мають кінцеві базиси.
Приклад 1. У просторі R розглянемо два базису. Базис {#}:
XeR ~. & = (3,4) (неколінеарна) і {/}: yj = (ll). / 2 = (0.l) J Знайдемо координати вектора х (5,8) в кожному базисі. Очевидно, вектор {
х = 2 g, + & • значить його координати в базисі {g} x g (2,1). У той же
£
час х = 5 /, + 3 f 2, а значить x f = (5,3).
Приклад 2. Розглянемо сукупність всіх квадратних матриць 2-го
порядку А
(Ah 4
. Як вже говорилося, вони утворюють лінійне
простір Покажемо, що його розмірність дорівнює 4. Дійсно, I
лінійно
система матриць про Н1 незалежна, а матриця «- лінійна
ают "комбінація е,, * =, с \. е,. Система матриць - базис простору.
»І | числа л Ас, </ - координати матриці І в цьому базисі. Базис складається з * 4 елементів, отже, простір чотиривимірному. Зауважимо, чт
■ простір квадратних матриць порядку г? має розмірність п.
Приклад 3. У просторі I / многочленів ступеня <2. функції
г, х: + 2х, ~ х - I. /, = - За год 1 утворюють базис.
Перевіримо їх лінійну незалежність.
С, д * 2. + (2С, + С + ЗПнЗ) а + (з,-с) = о.
(С,-О
2С, + С, + ЗС 3 = 0 •
-С, + Г 3 = о
Звідси випливає: С, - С, = С '3 = 0.
Ми показали, що розмірність простору 1/многочленов ступеня
<2 дорівнює 3, тому /, / 2, / 3 - базис простору V.
*
Знайдемо координати многочлена /> (г) = 5г:> 5 л: * -7 в базисі
а А + РЛ + га = Р {*) або
# • ДГ: + (2 <* + Р + 3 /) Л-- / 7 квітень - у = 5х 2 - 5.x * + 7.
Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х в
1 -?; А = 5
многочлене зліва і справа, отримаємо <; 2 а + р + 3 у = -5. Звідси, а = 5
Нп I -0 + УВ1
р = -9, у = -2 координати многочлена Р (х) в базисі {/}
Согрсмеіма * Гуманігаркаа А <; Д 1 Мий
незалежні трійки векторів (неколінеарних), але вже будь-які чотири вектори лінійно залежні. Згадані простору відрізняються своєю розмірністю * {
При вивченні простору R "(кжіта 1) ми переконалися, що в просторі можна вибрати різні базиси Всі вони володіють важливою властивістю - число їх векторів однаково.
Ця властивість справедливо для будь-якого лінійного простору Иц Визначення. Число векторів у всіх базисах простору V однаково. Це число називається розмірністю простору V і
позначати dim! '.
Якщо dim Г-л, то будь-які п лінійно незалежних векторів простору V утворюють базис. Тому пряма лінія - одномірне простір, площина - двумерна, а звичне нам простір - трехмерно.
Якщо в просторі можна вибрати будь-яке число лінійно; незалежних векторів, то його називають безконечномірним.
У просторі многочленів ступеня але вище п є базис
| З (/ * +1) вектора, тому розмірність цього простору.
Я
дорівнює (/ 7-t)). Простір же всіх неперервних на відрізку (ajf)
функції не є конечномірні. Ми будемо розглядати простору, мають кінцеві базиси.
Приклад 1. У просторі R розглянемо два базису. Базис {#}:
XeR ~. & = (3,4) (неколінеарна) і {/}: yj = (ll). / 2 = (0.l) J Знайдемо координати вектора х (5,8) в кожному базисі. Очевидно, вектор {
х = 2 g, + & • значить його координати в базисі {g} x g (2,1). У той же
£
час х = 5 /, + 3 f 2, а значить x f = (5,3).
Приклад 2. Розглянемо сукупність всіх квадратних матриць 2-го
(Ah 4
. Як вже говорилося, вони утворюють лінійне
(З d
простір Покажемо, що його розмірність дорівнює 4. Дійсно, I
порядку А
Важливим прикладом підпростору є лінійна оболонка векторів.
Визначення. Нехай про Ху а 2у ... у а я-система векторів з простору V. Сукупність всіх лінійних комбінацій
а х а х + ал, + • • + а ~ п т • г Д е - дійсні числа, називається
лінійною оболонкою системи векторів з ХУ ... у а т. Позначимо лінійну
оболонку L (o Xy a 2y ... y a m).
Приклади.
1. Лінійна оболонка векторів базису з ХУ е 2 е п простору I
збігається з усім простором.
2. Розглянемо систему функцій 1.x, х * з простору
Їх лінійна оболонка-безліч всіх многочленів ступеня <до •
Легко перевірити, що лінійна оболонка векторів a xy a 2y ... y a m, утворює підпростір, т.к. при додаванні лінійних комбінацій і множенні їх на число знову виходять лінійні комбінації так само векторів.
Для лінійної оболонки L (a], ..., a rri) dun L <m, якщо ж a., A 2, ... y a m лінійно незалежні, то вони служать базисом в А і dim L = m. Якщо вектори a x, a Jy ... y a m, породжують лінійну оболонку, лінійно
залежні, то dim L = г, де г - ранг системи векторів (максимальне число лінійно незалежних векторів системи). Всякий базис
L (a ly ..., a u) можна доповнити до базису всього простору V. Розглянемо ще один приклад.
У просторі C (ai) лінійну оболонку 1, {е х, е х) векторів е \ е х
складають функції виду у = ае х + Ье 'х, де а, b - будь-які речові числа. Функції е \ е 1 лінійнонезалежні і складають базис своєї
лінійної оболонки, dim /, -2. Знайдемо, наприклад, координати гіперболічних функцій y-chx іy-shx в цьому базисі.
Сопремсііав Гун аіігарнзв Академія
/ *, (*) - (5. 9, 2),. Зауважимо, що в стакдзртіом базисі {з} = {і.лг.х *};
многочлен / '(*) - 5 »-'-5д + 7 має координати Р. (*)> 7 '5 •
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Базис і координати | | | Матриця переходу |