Евклідові простори

Date: 2015-10-07; view: 435.

визначення евклидова простору. З поморю поняття]

лінійного простору можна сформулювати, що так багато!

плоске, ь. розмірність простору, паралельність ° ДААК багато * факти евклідової геометрії, пов'язані з вимірюванням довжин і кутів,! залишалися за межами наших розглядів. Згадав, 1

аналітичної геометрії для визначення довжин і вимірювання кутів між векторами можна було користуватися поняттям скалярному твору.

Ноуже це поняття включало в себе вміння міряти довжину векторів і косинус «

кута. В арифметичних лінійному просторі К "було визначено скалярний твір, і з його допомогою вводилися основні метричні поняття (довжина вектора, ортогональность векторів).

Загалом лінійному просторі V введемо поняття скалярного твори аксіоматично.

Визначення. Кажуть, що в «матеріальному лінійному просторі V визначений скалярний твір,якщо кожній

парі векторів х, у е V поставлено у відповідність дійсне число, г

яке позначимо (х, у), причому це відповідність задовольняє ^ наступному аксіомам;

ИЕ, ^ '\ *> у) • ^{т е} - скалярний твір симетрично;

(Виконано переместітельний закон).

12. + = + (*, *) (Розподільний закон).

13. (Лх, у) = Л (х.у), для будь-якого речового Я.

14. (*, *)> 0 при л: * 0 і (ДГ, лг) = 0 при г = О

билинейной з 1 ", трГіГ ^; :: рр. _л ^{в: ​​е ввкг} ° ^р ° ^в« до є

Будь-яка форма, визначеної

малярське твір. ^{1 е} т бути прийнята за

*

I

15. Якщо в лінійному просторі задані базиси {е}, {/} і {я}, причому С-матриця переходу від базису {з} до {/). аВ - матриця переходу від базису {/} до {&}, то матриця - твір С-В є гве ї матрицею переходу від базису {<?} до {#}.

Наприклад, нехай вектори "нового" базису £, _; £ ₂ , £> тривимірного

лінійного простору виражені через "старий" базис ^по

формулами:

Щоб составітіь матрицю С переходу від {/} до {#}, запишемо • '» I координати векторів системи {#} побазису {/} в стовпці матриці С:

I

з 08 Та Матриця С невироджена,. Матриця С має вигляд:

Отже, співвідношення, що виражають вектори базису {/} через вектори {*}

Розглянемо тепер, як перетворюються координати довільне