Дайте определение базиса линейного пространства. Приведите пример. Докажите однозначность разложения вектора по базису.
Date: 2015-10-07; view: 528.
Можно ли из линейно зависимой системы векторов выделить линейно независимую подсистему? Можно ли из линейно независимой системы векторов выделить линейно зависимую подсистему? Приведите примеры. Ответы обоснуйте.
Система, включающая вектор 0, линейно зависима.
Если среди векторов системы имеется нулевой вектор, то вся система линейно независима.
Если система {а1,a2…,as } линейно независима, но при добавлении к ней еще одного вектора а становится линейно зависимой, то вектор а линейно выражается через а1,a2…,as
Доказательство. По условию справедливо равенство вида
c1a1+c2a2+…+csas+са=0, где не все числа с1,c2,…cs равны нулю. Нетрудно видеть, что именно с ¹0. В противном случае мы получили бы равенство c1a1+c2a2+…+csas = 0,
означающее линейную зависимость системы а1,a2…,as . Пользуясь тем, что сне=0, можно из равенства
(c1a1+c2a2+…+csas+са=0) выразить а через векторы а1,a2…,as.-
22. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Является ли линейно зависимой система векторов, если она содержит линейно зависимую подсистему?
Система векторов а1, а2 и аm называется линейно зависимой, если существуют такие числа с1, с2, сm (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:
с1ā1+с2ā2+...+сmām =0.
Система векторов является линейно зависимой, если она содержит линейно зависимую подсистему согласно свойству линейно зависимых систем векторов: Если часть системы ЛЗ, то и вся система ЛЗ.
Доказательство. Пусть дана система из 3-х векторов ā1,ā2,ā3, причем часть системы, состоящая из 2-х векторов ā1,ā2, ЛЗ, т.е. справедливо равенство с2 ā2+с3 ā3 =0, где с2 или с3≠0. Добавив к обеим частям вектор 0=0ā1,Þ0ā1+с2ā2+с3ā3 =0, т.е. означает ЛЗ всей системы ā1,ā2,ā3
23. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что 3 ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка 3 х 5 линейно независимы.
Еслисистема векторов ā1,ā2,…,ām такова, что равенство с1ā1+с2ā2+...+сmām =0возможно только при с1=c2=,..,=с3=0, то эта система называется линейно независимой.
Докажем, что любая ступенчатая система векторов линейно независима.Рассмотрим 3 ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка 3 х 5.
k1ā+k2b+k3ĉ+…=Ô
k1a1+k20+k30+…=0
k1a2+k2b2+k30+…=0
………………….
a1,b2,c3,…≠0
след-но, k1=k2=…=0, в силу произвольности коэффициентов k данная сист. линейно независима.
27. Дайте опред. Общего решения неоднородной системы лин. Уравнений. При каких условиях множество решений системы лин. ур-й Ах=b образует лин. простр-во? Ответ обоснуйте.
Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения = 0. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.
Общее решение однородной системы линейных уравнений представляет собой линейно зависимые вектора.
Общее решение СЛАУ-все пространство решений однородной СЛАУ. Выразив базисные неизвестные через свободные, получается общее решение системы.
24. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств Rn.
Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Примеры линейных пространств:
1) пространство Rn;
2) множество решений однородной системы линейных уравнений;
3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;
4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;
5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;
6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.
Система векторов из Rn называется базисом этого пространства, если:
1)Система ЛНЗ;
2) Любой вектор из Rn можно представить как линейную комбинацию векторов этой системы.
Теорема о базисе. Любая ЛНЗ система векторов из Rn явл. базисом Rn, когда число векторов этой системы равно n. Док-во. Пусть: { в1, в2, …, вm } ЛНЗ система в Rn, докажем, что m=n 1) m>n. Получим, что система ЛЗ(по теореме об ортогональном векторе), что противоречит условию; 2) m<n Пусть{ в1, в2, …, вm }- базис Rn, то для любого Х ЄRn х=х1в1+х2в2+…+хmвm; m<n,то по теореме о существовании ортогонального вектора есть ненулевой вектор, кот. Ортогонален любому вектору этой системы (у╨вi, i=1,…,n), то увi=0; у ЄRn, тогда у=у1в1+у2в2+…+уmвm, умножим это рав-во на само себя уу=( у1в1+у2в2+…+уmвm)у=у1(в1у1)+у2(у2в2)+…+уm(уmвm)=0; уу=0, то у=0, а по усл теоремы у≠0, противоречие, значит m<n неверно, тогда m=n.
26. Дайте определение линейного подпространства в Rn. Какие из множеств, образованных всевозможными векторами (х1, х2) из R2 такими, чтоа) х1 – х2 = 0, б) х1 - 2х2 = 1, в) х1 * х2 > 0являются подпространствами, а какие нет? Ответ обоснуйте.
Опр. М назыв. Подпр-вом пр-ва L, если М замкнуто относит. слож.и умнож. на число, т.е. для любых эл-тов x и y из М и любого числа а х+у принадл М и ах принадл М.
Теор. Подпр-во является линейным пр-вом
Док-во: Т.к. пр-во замкнуто и принадл. L, то в нем выполн. все аксиомы линейного пр-ва. Аксиомы 3 и 4 выполнены также в силу 4-х теорем.
Пусть в пр-ве L выделены 2 подпр-ва M и N, тогда М Ụ N необязат. будут явл. подпр-вами.
Пример: 2 прямые на пл-ти.
Теор.Пересечение М и N подпространство.
Опр.М+N={х1+х2│х1 принадл. M, х2 принадл. N
Теор. M+N – подпр-во пр-ва L.
Док-во:Пусть х принадл. M+N и у принадл. M+N, т.е. х=х1+х2, у=у1+у2, х1 и у1 принадл. М. х2 и у2 принадл. N. х+у=(х1+у1)+(х2+у2) где х+у принадл. M+N т.к. х1+у1 принадл. M, а х2+у2 принадл. N. Аналогично доказывается, что ах принадл. M+N.
Пример: В R3 суммой двух одномерных пр-ств (прямых) явл. двумерное пр-во (плоскость, содерж. данные прямые).