Дайте определение линейного пространства. Докажите, что симметрические матрицы порядка 2 образуют линейное пространство. Найдите его размерность.
Date: 2015-10-07; view: 382.
Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
Линейным подпространством пространства V называется произвольное его подмножество, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число. Для системы векторов а1, а2,…аs?V множество всевозможных линейных комбинаций
а=к1а1+к2а2+…+кsаs является линейным подпространством и называется линейной оболочкой или подпространством, порожденным этой системой векторов.
Линейно независимая система векторов а1, а2,…,аs?V называется базисом линейного пространства V, если линейная оболочка векторов системы совпадает с V.
В этом случае говорят, что размерность пространства V равна s и записывают так: dimV=s. В частности, dim Rn=n. Размерность линейной оболочки системы векторов а1, 2а, …,аs ?V называется рангом этой системы.
Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число:
а+b=b+a (коммутативности), (a+b)+c=a+(b+c) (aссoциативности), сущ-ет нулевой вектор, такой, что если его прибавить к исходному вектору, то получится исходный вектор a+0=a , наличие противоположного вектора в сумме с исходным дающий ноль-вектор а+(-а)=0, k(a+b)=ka+kb(дистрибутивность), (k+l)a=ka+la, k(la)=(kl)a, 1a=a и подчиняющиеся 8 аксиомам. Примерами лин постранств могут служить арифметическое n-мерное векторное пространство Rn, пространство решений произвольной однородной СЛАУ, множество многочленов степени не превышающей n. Например, линейным является пространство подмножества векторов х=(х1,х2,х3,х4) в R4, выделенное условием V={x?R4|x1+x2+x3+x40}.
42. Дайте определение скалярного произведения в Rn. Неравенство Коши-Буняковского.
Скалярным произведением двух векторов a=(a1 , a2 , ..., an ) и b=(b1, b2, ..., bn) называется число (a, b)=a1b1+a2b2+ ...+anbn.
Основные свойства скалярного произведения векторов: 1.)=(b, a). 2. (ka, b)=k (a, b) 3. (a, b+ c)=(a, b)+ (a, c) 4. (a, a)> 0, если а= 0 и (a, a)= 0, если a=0
cosj.=(a, b)/ |вектор а|*|вектор в|
Равенство справедливо при векторе а¹0 и векторе в¹0. Однако формула не совсем проста. Уравнение cosj = с, (где j - неизвестное число) имеет решение только при –1£c£1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала убедиться, что (a, b)/ |вектор а|*|вектор в| заключено между -1 и 1. Для этого имеется Неравенство Коши-Буняковского. Для любых двух векторов a и b из Rn справедливо неравенство (a,b)2<(a,a)* (b,b).
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Дайте определение базиса линейного пространства. Приведите пример. Докажите однозначность разложения вектора по базису. | | | Собственные значения и собственные векторы матрицы. |