Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Date: 2015-10-07; view: 322.

Могут ли фундаментальные наборы решений однородной СЛАУ различаться а) числом решений? Ответы обосновать.

Базис пространства решений однородной СЛАУ называется фундаментальным набором решений.Чтобы построить фундаментальный набор решений СЛАУ надо решить ее методом Гаусса, найти ее общее решение-выразить базисные переменные через свободные

После решения СЛАУ методом Гаусса мы получаем общее решение однородной СЛАУ, которая содержит ряд переменных для получения фундаментального набора решений следует подставить в общее решение единицы и нули.

Не могут, т.к. фундаментальный набор решений является базисом однородной системы координат, который состоит из S векторов, они меняться не могут.

Определение 1: Число l называется собственным значением квадратной матрицы А порядка nxn, если найдется ненулевой вектор , такой, что выполняется равенство

Рассуждения для собственных векторов:

Получена система линейных однородных уравнений, которая должна иметь ненулевое решение, значит

Обозначим эти равенства (4) и (5) соответственно.

Если раскрыть определитель из равенства (5), то получится многочлен n-ой степени относительно l. Этот многочлен будем называть характеристическим уравнением матрицы А.

Определение 2: Уравнение (5) называется характеристическим уравнением матрицы А.

Таким образом собственные значения матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения.

Определение 3: Ненулевой вектор называется собственным вектором квадратной матрицы А порядка n, принадлежащим ее собственному значению l, если является решением системы (4). Множество всех собственных векторов, принадлежащих собственному значению l, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы

57. Как связаны собственные значения кв. матриц А и А^T.

Собственные значения матриц А и А^T совпадают. Док-во корни характеристического уравнения – λ. |A- λE|=0, |A(t)- λE|=0, |A(T)- λE|=0 харктеристическое уравнение от А(Т). решения этого уравнения явл. Собственные значения А(Т).