Полиномиальное и степенное представление элементов поля.
Date: 2015-10-07; view: 538.
Поле.
Понятие поля. Построение конечных полей с помощью неприводимых многочленов (привести пример). Полиномиальное и степенное представление элементов поля.
{(4) – стр. 135}
Поле – коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором каждый отличный от нуля элемент имеет обратный элемент.
{(1) – стр. 98}
Поле – это такое кольцо, ненулевые элементы которого образуют группу относительно умножения, т. е. выполняются дополнительные свойства:
§ существует единичный элемент относительно умножения 1, для любого другого элемента a выполнено a · 1 = 1 · a = a;
§ для a ≠0 существует обратный элемент a−1, для которого a−1· a = a · a−1= 1.
Построение конечных полей с помощью неприводимых многочленов
{(3) – слайд 67}
§ Выбираем простое p и фиксируем поле 
§ Образуем кольцо 
многочленов над ним.
§ Выбираем натуральное n и неприводимый многочлен 
§ Идеал 
порождает фактормножество 
, элементы которого суть совокупность 
остатков от деления многочленов 
на 
: 
. Множество 
является полем Галуа 
– расширение n-ой степени поля 
(обозначается 
).
Пример: построение поля 
(слайд 71).
Любой элемент циклической группы можно представить как степень примитивного элемента.
Пример: слайды 265 и далее.
Алгоритм нахождения всех корней многочлена f(x) над полем 𝔽𝑝.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Расширенный алгоритм Евклида и его применение. | | | Теорема Хэмминга. Пример построения кода Хэмминга. |