Необхідність

Date: 2015-10-07; view: 434.

Нехай система (1) сумісна, тобто існують такі числа , що справедливі рівності

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

.

Позначимо через r ранг основної матриці системи (1) та розглянемо лінійну оболонку L базисних стовбців цієї матриці. В силу теореми про базисний мінор стовбець розширеної матриці А, окрім її останнього стовпця, належить вказаній лінійній оболонці L. Іншими словами, стовбець розширеної матриці А, окрім її останнього стовпця, належить вказаній лінійній оболонці L.

А= . . . . . . . . . .

= . . . . . . . . . . . .

З рівності (2) випливає, що і останній стовбець розширеної матриці А належить лінійній оболонці L (так як цей останній стовбець в силу рівностей (2) лінійно виражається через усі стовбці основної матриці, а тому лінійно виражається через її базисні стовбці).

Таким чином, усі стовбці розширеної матриці А належать вказаній лінійній оболонці L, розмірність якої рангу r. Це означає, що будь-які r+1 стовбці розширеної матриці А лінійно залежні, тобто ранг розширеної матриці також дорівнює r. Необхідність доведено.