Достатність

Date: 2015-10-07; view: 581.

Нехай ранги основної та розширеної матриць співпадають. Тоді r базисних стовбців основної матриці будуть основними базисними стовбцями й розширеної матриці. Згідно теореми про базисний мінор, останній стовбець розширеної матриці являє собою деяку лінійну комбінацію вказаних r базисних стовбців. Тобто останній стовбець розширеної матриці являє собою деяку лінійну комбінацію і усіх стовбців основної матриці А, тобто існують числа такі, що справедливі рівності (2). Останні рівності означають, що числа являє собою рішення системи (1), тобто ця система є сумісною. Теорема повністю доведена.

23. Означення евклідового простору. Скалярне множення на дійсному векторному просторі.

Введемо поняття скалярного добутку векторному просторі. Для цього потрібно ввести поняття скалярного добутку двох векторів. Нехай задано білінійну форму

, де - довільна матриця

( = , , ; , ;

Білінійній формі поставимо у відповідність . Введемо ту білінійну форму, в якої відповідні квадратична форма буду додатньо визначеною. Така білінійна форма двох векторів називається скалярним добутком і позначається (x,y). Тобто кожній парі векторів ставимо й відповідність певне число. При цьому виконуються наступні властивості скалярного добутку:

1.

2.

3.

4. , причому(x,x)=0, x=0

Лінійний векторний простір з введеним скалярним добутком називається евклідовим векторним простором.

Якщо в просторі не введено скалярний добуток, то такий простір називається афінним.

Якщо , то такий простір називається псевдо евклідовим.

20.Зв'язок між координатами вектора в різних базисах

29. Системи однорідних рівнянь. Необхідна і достатня умова існування єдиного розв'язку квадратної системи лінійних однорідних рівнянь. Необхідна і достатня умова існування ненульових розв'язків квадратної системи лінійних однорідних рівнянь. Властивості розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь.

1. В загальному випадку система m лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд:

; (*)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

При цьому – невідомі, величини – коефіцієнти системи, – вільні члени. Кожен коефіцієнт системи має два індекси, перший х яких i вказує на номер рядка, а другий j на номер невідомого, при якому стоїть коефіцієнт.

Система називається однорідною, якщо усі її вільні члени дорівнюють 0. Якщо хоча б один з вільних членів не дорівнює 0, то така система називається неоднорідною.

Система називається квадратною, якщо число невідомих дорівнює числу рівнянь.

Розв'язком системи називається така сукупність деяких n чисел , яка при підстановці в систему на місце невідомих перетворює усі рівняння цієї системи на тотожності.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок, і несумісною, якщо в неї не існує жодного розв'язку. Сумісна система може мати один розв'язок або декілька.

Сумісна система типу (*) називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок.

Сумісна система типу (*) називається невизначеною, якщо в неї існують хоча б два різних розв'язки.

2. (?)Необхідна і достатня умова існування єдиного розв'язку однорідної системи лінійних однорідних рівнянь.

Щоб однорідна система рівнянь мала єдиний розв'язок , достатньо щоб Δ≠0, і навпаки, якщо Δ≠0, то однорідна система має лише однорідний розв'язок.

3. Необхідна і достатня умова існування ненульових розв'язків квадратної системи лінійних однорідних рівнянь.

Теорема (Терема Кронекера-Капеллі) : Для того, щоб лінійна система була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці та ранг основної матриці були рівні між собою.

4. Властивості розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь.

1) нехай є розв'язки системи (*) X, Y

X+Y – розв'язок системи , вільні члени якої дорівнюють нулю

2) X, k≠0, kX – розв'язок системи, вільні члени якої дорівнюють нулю

З цих властивостей випливає, що множина розв'язків цієї однорідної системи рівнянь утворює лінійний векторний простір.