Операции над матрицами.

Date: 2015-10-07; view: 545.

Суммой матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) одинакового размера называется матрица C=(c_ij) того же размера, причем c_ij=a_ij+b_ij,

Для любых матриц A,B,C одного размера выполняются равенства:

1. A+B=B+A (коммутативность);

2. (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C (ассоциативность)

Произведением матрицы A=(a_ij) на число называется матрица B=(b_ij) того же размера, что и матрица А, причем b_ij= a_ij ,

Пример №1. Выполнить действия:

Определение 1.3. Выберем в матрице размера произвольные строк и столбцов, . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют квадратную матрицу -го порядка, определитель которой называют минором -го порядка матрицы . Элементы матрицы являются минорами первого порядка.

Если в матрице имеется минор -го порядка, не равный нулю, а все ее миноры -го порядка, окаймляющие этот минор, равны нулю, то ранг матрицы равен .

Определение 1.4. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если

Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Квадратная матрица , определитель которой отличен от нуля имеет единственную обратную матрицу , где - определитель матрицы ;

- алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называются следующие преобразования:

а) умножение й строки матрицы на число ;

б) прибавление к й строке (столбцу) й строки (столбца), умноженной на число ;

в) перестановка й и й строк (столбцов) матрицы.

Алгоритм построения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы:

1. К данной матрице приписать справа единичную матрицу

2. С помощью элементарных преобразований объединенной матрицы привести матрицу к единичной матрице

3. Матрица имеет вид:

Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений: . Решением этих уравнений являются соответственно матрицы . В этих уравнениях – матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров.

Пример №2. Вычислить:

Решение:

При вычислении произведения матриц, всегда надо помнить, что произведение существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В нашем случае матрица А имеет размерность , матрица В - ; число столбцов матрицы А равно 2, число строк матрицы В равно 2. Размерность матрицы произведения будет .

Пример №3. Выполнить действия:

Решение:

Пример №4. Вычислить ранг матрицы

Решение:

Найдём ранг матрицы методом элементарных преобразований. Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, количество нулевых строк полученной ступенчатой матрицы - искомый ранг матрицы . Приведём матрицу к ступенчатому виду:

Полученная ступенчатая матрица содержит одну не нулевую строку, значит её ранг равен единице.

Пример №5. Найти обратную матрицу к матрице

Решение:

Найдем обратную матрицу к данной, методом присоединенной матрицы.

1) Найдем не равен 0.

Матрица существует, если не равен 0.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы :

3) Запишем присоединённую матрицу :

4) Найдём обратную матрицу

Сделаем проверку:

В результате произведения получили единичную матрицу, следовательно

Обратная матрица к матрице .

Пример №6. Решить матричное уравнение:

Решение:

1)Найдем detA:

Так как detA 0, то матрица существует.

2) Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

3) Запишем матрицу

4)Найдем матрицу :

Проверка:

Следовательно:

Проверка:

Задания:

1. Найти сумму матриц ,

2. Даны матрицы и . Найти матрицу .

3. Найти произведение матриц, если оно существует:

а) ;

б)

в)

4. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.

5. Найти матрицу, обратную к матрице

6. Найти ранг матрицы