Системы линейных алгебраических уравнений

Date: 2015-10-07; view: 447.

Система линейных алгебраических уравнений с неизвестными - это система уравнений вида

Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных.

— неизвестные, которые надо определить.

— коэффициенты системы, — свободные члены.

Решение системы — совокупность чисел , таких, что подстановка каждого вместо в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Теорема Кронекера –Капелли:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Общее решение системы уравнений можно получить с помощью формул Крамера или методом Гаусса.

Формулы Крамера:

Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение, которое определяется по формулам: , где - определитель матрицы системы; - определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца столбцом свободных членов.

Построение общего решения методом Гаусса:

1. Проверить, имеется ли в системе противоречивое уравнение. Если такое уравнение в системе есть, то она несовместна и не имеет общего решения.

2. Вычеркнуть все тривиальные уравнения в системе, если они есть.

3. Выяснить, является ли система уравнений разрешенной. Если она разрешенная, то построить общее решение, выражая разрешенные неизвестные через свободные.

4. Найти уравнение в системе, не содержащее разрешенного неизвестного. С помощью элементарных преобразований получить в этом уравнении неизвестное с коэффициентом единица, а затем исключить это неизвестное из остальных уравнений системы.

5. Перейти к выполнению пункта 1. Через конечное число шагов процесс остановится и будет установлена несовместность системы или получено общее решение системы линейных уравнений.

Пример №10. Решить систему и в ответе указать произведение решений:

Решение:

Решим систему уравнений по формулам Крамера. Для этого найдем определитель матрицы системы:

так как , то решение системы существует и единственно. Найдем определители D_1, D_2, D₃ подставляя столбец свободных членов нашего первого, второго и третьего столбцов определителя D соответственно.

Отсюда получаем решение системы уравнений:

; ;

Подстановкой корней в систему уравнений, убеждаемся, что , являются решением системы. Следовательно, - произведение решений.

Пример №11. При каком значении система совместна и неопределенна:

Решение:

Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

При =6, получаем расширенную матрицу системы

, её ранг равен 1, значит . Ранг матрицы меньше количества неизвестных т. е. меньше , значит система совместна и неопределенна

Пример №12. Указать общее решение однородной системы

Решение:

Запишем матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Так как , то система неопределенна. Количество главных переменных равно r(A)=1: количество сводных переменных равно

Пусть главной переменной будет х₁, тогда из равенства , следует, что . Обозначим через t главную переменную, тогда общее решение системы:

Пример №13. Указать фундаментальную систему уравнений:

Решение:

Запишем матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Так как (n – количество переменных), то система определена. Количество главных переменных равно , количество свободных переменных равно .

Для определения главных переменных выберем какой-нибудь неравный нулю минор второго порядка полученной матрицы А, например, минор . Его столбцы соответствуют переменным х₁ и х₂ – это будут главные переменные а х₃ – свободная переменная. Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

из второго уравнения выражая х₂ через х_3, получим х₂ = х₃; подставляя это выражение в первое уравнение, получим =0.Обозначим свободную переменную через t получим общее решение системы: (0;t;t) = t(0;1;1). Фундаментальную систему решений образует, например, решение

Задания:

1. Найти решения систем уравнений:

а) б)

2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

а) , б)

Индивидуальные задания