Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Date: 2015-10-07; view: 395.

Задание 3.

Проверить на совместимость и решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

в) методом Гаусса;

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28, .

29 , 30,

a.

Определение 2.1. Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок.

Определение 2.2. Суммой двух векторов и называется третий вектор

+ , который идёт из начала первого вектора в конец второго , если второй вектор выходит из конца первого. (рис. 1)

Определение 2.3. Разностью двух векторов и называется третий вектор - , который представляет собой сумму вектора и вектора противоположного вектору , т.е. - = +(- ).

Определение 2.4. Произведением вектора на число x называется вектор, обозначаемый , такой, что: 1) | |=| |∙| |

2) векторы и

имеют одно направление, если >0, и противоположное, если <0.

Определение 2.5. Если вектор составляет с осью Ох угол , то проекцией вектора на эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла :

Проекция суммы векторов и на ось Ох равна сумме проекций этих векторов на эту ось:

В трёхмерном пространстве вектор может быть представлен разложением по координатному базису в виде: , где , , - единичные базисные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси;

, , - проекции вектора на оси координат.

Определение 2.6. Длина (модуль) вектора определяется через проекции по формуле

Направление вектора определяется его направляющими косинусами:

Направляющие косинусы вектора связаны соотношением:

Пример № 1

Найти длину вектора

Решение:

Пример № 2

Даны векторы и . Найти сумму векторов и .

Решение:

Если векторы и заданы их разложением по ортам, то их сумма и разность определяются по формулам:

В нашем случае: , т.е.

Пример № 3

Указать значение направляющих косинусов вектора

Решение:

Направление вектора определяется углами образованными им с осями координат

Пример № 4

Разложить вектор по векторам и

Решение:

Требуется представить вектор в виде , где - числа. Найдём их, используя определение равенства векторов. Имеем: , , и равенство , т.е. . Отсюда следует:

Решая систему уравнений, находим: ; , следовательно, .

Определение 2.7.Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между векторами:

Если векторы выражены через координаты в декартовой системе координат , , то скалярное произведение определяется как сумма попарных произведений соответствующих координат:

Условием перпендикулярности векторов и является равенство нулю их скалярного произведения: или .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)

2) .

Модуль вектора может быть представлен в виде , где - скалярный квадрат вектора , равный .

Пример № 5

Определить угол между векторами: и

Решение:

Согласно определению скалярного произведения двух векторов и ;

Следовательно,

В нашем случае,