Розв'язування типового варіанта

Date: 2015-10-07; view: 429.

1. Маємо систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь:

Необхідно:

Перевірити, чи є система сумісною, та в разі сумісності розв'язати її:

а) за формулами Крамера;

б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

в) методом Гаусса.

Розв'язання:

Сумісність даної системи перевіримо за теоремою Кронекера-Капеллі. За допомогою елементарних перетворювань знайдемо ранг

матриці даної системи

та ранг розширеної матриці .

Для цього помножимо перший рядок матриці В на –2 та додамо до другого, далі множимо перший рядок на –3 і додаємо до третього, змінюємо третій і другий стовпці місцями:

~ ~ ~

Отже . Тоді за теоремою Кронекера-Капеллі випливає сумісність даної системи.

а) за формулами Крамера:

якщо , , , , де

, , ,

знаходимо: , ,

б) Для знаходження розв'язку системи за допомогою оберненої матриці запишемо систему рівнянь у матричної формі , де

, , .

Розв'язок системи у матричної формі має вигляд .

Знаходимо обернену матрицю (вона існує, тому що ):

, ,

, ,

, ,

Розв'язок системи:

Отже, , ,

в) Розв'яжемо систему за методом Гаусса. Зведемо початкову систему рівнянь к трикутному виду. Вилучимо x₁ з другого й третього рівнянь. Для цього перше рівняння помножимо на 2 та віднімемо від другого, потім перше рівняння помножимо на 3 та віднімемо від третього:

Розв'язок системи: , , .

2. Маємо систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь:

Необхідно:

Перевірити, чи є система сумісною, та в разі сумісності розв'язати її:

а) за формулами Крамера;

б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

в) методом Гауса.

Розв'язання:

Сумісність даної системи перевіримо за теоремою Кронекера-Капеллі. У розширеної матриці

третій і перший стовпці міняємо місцями, множимо перший рядок на 3 і додаємо до другого, множимо перший рядок на 2 і додаємо до третього, із третього рядка віднімаємо другий рядок:

~ ~ ~

Отже зрозуміло, що . Відповідно до теореми Кронекера-Капеллі, з того, що , випливає несумісність вихідної системи, таким чином дана система розв'язків не має.

3. Розв'язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Розв'язання:

Визначник системи , тому система має єдиний нульовий розв'язок:

4. Розв'язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Через те, що визначник системи , то система має нескінченну множину розв'язків. Оскільки , візьмемо будь-які два рівняння системи (наприклад, перше і друге) і знайдемо її розв'язок.

Маємо:

Через те, що визначник з коефіцієнтів при невідомих і не дорівнює нулю, то в якості базисних невідомих візьмемо і (хоча можна брати й інші пари невідомих) і перенесемо члени з в праві частини рівнянь:

Розв'язуємо останню систему за формулами Крамера:

, , де

, ,

Звідси знаходимо: , .

Вважаючи, наприклад, , де kÎR – довільний коефіцієнт пропорційності, одержуємо розв'язок вихідної системи: , , .