Определения. Свойства.

Date: 2015-10-07; view: 423.

Лекция 7.

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

На множестве квадратных (п´ п)-матриц (п = 1,2,3,…) с элементами из поля Р определим по индукции функцию det со значениями в поле Р. Значение этой функции на матрице А будем обозначать также |A| и называть определителем матрицы А.

Пусть для п = 1 для матрицы А = (а₁₁) по определению detA = а₁₁ .

Далее будем считать, что для всех (п – 1)´(п – 1)-матриц функция det уже определена. Определим для (п´ п)-матрицы

A = функцию detA по формуле:

detA = а₁₁ M₁₁ - а₂₁ M₂₁ + а₃₁ M₃₁ - …+(-1)ⁿ⁺¹а_n1 M_n1 , где M_k1 – определитель (п – 1)´(п – 1)-матрицы, которая получается из матрицы A вычеркиванием 1-го столбца и k-й строки. По предположению индукции можно считать, что все эти определители мы вычислять умеем. Определители M_k1 называются минорами, соответствующими элементам а_k1. Число п будем называть порядком (п´ п)-матрицы А, а также порядком определителя |A|.

Упражнение.Написать формулы для |A| при n = 2 и 3.

Замечание. detA можно рассматривать как функцию одного матричного аргумента A, можно рассматривать как функцию от п² аргументов а_ij, можно рассматривать как функцию от п строк матрицы A .

Обозначим i-ю строку матрицы А через А_i . То есть А_i = (а_i1 , а_i2 ,…, а_in ). Рассмотрим det как функцию п строк матрицы A: detA = det(А₁ , А₂ ,…, А_n ).