Утверждение 1.

Date: 2015-10-07; view: 457.

det(А₁ ,…,А_i+А¢_i ,…,А_n)=det(А₁ ,…,А_i ,…,А_n)+det(А₁ ,…,А¢_i,…,А_n).

Доказательствопо индукции.

При п = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу , у которой i-я строка = А_i+А¢_i . По определению | |= а₁₁ -а₂₁ +…+(-1)ⁱ⁺¹(а_i1+а¢_i1)M_i1+…+ +(-1)ⁿ⁺¹а_n1 , где , k ¹ i, - миноры матрицы , M_i1 – минор матрицы А и . Так как все - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 1 верно, то есть при k ¹ i = M_k1 + M¢_k1 , где M_k1 - миноры для det(А₁ ,…,А_i ,…,А_n), а M¢_k1 – миноры для

det(А₁ ,…,А¢_i,…,А_n). Таким образом,

| |= а₁₁(M₁₁+M¢₁₁) -а₂₁(M₂₁+M¢₂₁)+…+(-1)ⁱ⁺¹(а_i1+а¢_i1)M_i1+…+ +(-1)ⁿ⁺¹а_n1 (M_n1+ M¢_n1) =

= (а₁₁M₁₁ - а₂₁M₂₁+…+(-1)ⁱ⁺¹а_i1 M_i1+…+(-1)ⁿ⁺¹а_n1M_n1 )+

+ (а₁₁M¢₁₁ - а₂₁M¢₂₁+…+(-1)ⁱ⁺¹а¢_i1M_i1+…+(-1)ⁿ⁺¹а_n1 M¢_n1) =

= det(А₁ ,…,А_i ,…,А_n) + det(А₁ ,…,А¢_i,…,А_n).