Утверждение 2.

Date: 2015-10-07; view: 431.

det(А₁ ,…, сА_i ,…, А_n) = сdet(А₁ ,…, А_i ,…, А_n).

Доказательствопо индукции.

При п = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу , у которой i-я строка = сА_i . По

определению | | = а₁₁ - а₂₁ +…+(-1)ⁱ⁺¹са_i1M_i1+…+

+(-1)ⁿ⁺¹а_n1 , где , k ¹ i, - миноры матрицы , M_i1 – минор матрицы А и . Так как все - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 2 верно, то есть при k ¹ i = сM_k1 , где M_k1 - миноры для det(А₁ ,…, А_i ,…, А_n). Таким образом,

| |= а₁₁сM₁₁ - а₂₁сM₂₁ +…+ (-1)ⁱ⁺¹са_i1M_i1+…+ (-1)ⁿ⁺¹а_n1сM_n1 =

= сdet(А₁ ,…,А_i ,…,А_n) .



Свойства определителя из утверждений 1, 2 называются свойствами линейности определителя по i-й строке. Так как i – произвольная строка, i = 1¸ n, то говорят, что определи­тель - полилинейная функция строк.