Утверждение 4.

Date: 2015-10-07; view: 423.

Утверждение 3.

det(А₁ ,…, А_i , А_i ,…, А_n) = 0 – то есть определитель, у которого две соседние строки одинаковые, равен нулю.

Доказательствопо индукции.

При п = 2 утверждение очевидно из формулы для определителя 2-го порядка.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу А, у которой А_i+1= А_i . По определению |А| = а₁₁M₁₁ - а₂₁M₂₁+…+(-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1 - (-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1+…+

+(-1)ⁿ⁺¹а_n1M_n1 , где все миноры M_k1 , k ¹ i, i+1, – имеют две одинаковые соседние строки, и так как все M_k1 - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 3 верно, то есть при k ¹ i, i+1 M_k1 =0. А сумма (-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1 - (-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1= 0. Таким образом, |А| = 0.



det(А₁ ,…, А_i , А_i+1 ,…, А_n) = - det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i ,…, А_n) – то

есть если у определителя поменять местами две соседние строки, то он изменит знак.

Доказательство. Из утверждений 3 и 1

0 =det(А₁ ,…,А_i+А_i+1 ,А_i+А_i+1 ,…,А_n) = det(А₁ ,…, А_i , А_i ,…, А_n)+ + det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i ,…, А_n) + det(А₁ ,…, А_i , А_i+1 ,…, А_n) +

+ det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i+1 ,…, А_n) – в этой сумме 1-е и 4-е слагаемые по утверждению 3 равны 0 , то есть

det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i ,…, А_n)+ det(А₁ ,…, А_i , А_i+1 ,…, А_n)= 0 Þ

det(А₁ ,…, А_i , А_i+1 ,…, А_n) = - det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i ,…, А_n).



Утверждение 5. Если у матрицы А при i ¹ j А_i = А_j , то

|A|= 0 – то есть определитель, у которого две строки одинаковые, равен нулю.

Доказательство. При j = i+1 определитель равен нулю по утверждению 3. Пусть j > i+1. Переставим j-ю строку с (j -1)-й, затем с (j -2)-й, с (j -3)-й и т.д. пока не дойдем до

(i +1)-й и не получим определитель с двумя одинаковыми соседними строками – этот определитель по утверждению 3 равен нулю. Каждый раз при перестановке соседних строк по утверждению 4 определитель менял знак. После всех этих перестановок строк мы получим окончательный нулевой определитель, который отличается от нашего первоначального, может быть, разве что только знаком. Значит, и наш первоначальный определитель тоже равен нулю.