Вычисление определителей.

Date: 2015-10-07; view: 428.

Утверждение 6.

det(А₁ ,…, А_i ,…,А_j ,…, А_n) = - det(А₁ ,…, А_j ,…, А_i ,…, А_n) – то есть если у определителя поменять местами i-ю и j-ю строки, то он изменит знак.

Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.

Упражнение.Доказать утверждение 6.

Свойство определителя из утверждения 5 называется свойством кососимметричности (или антисимметричности) определителя по строкам.

Итак, нами доказана

Теорема. Определитель матрицы является полилиней­ной кососимметричной функцией строк этой матрицы.

Как следует из утверждения 6, при элементарных преобразованиях II-го типа над строками матрицы определитель меняет знак.

Утверждение 7. При элементарных преобразованиях I-го типа над строками матрицы определитель не меняется.

Доказательство. det(А₁ ,…, А_i+cА_j ,…, А_j ,…, А_n) =

= det(А₁ ,…,А_i ,…, А_j ,…, А_n) + det(А₁ ,…,cА_j ,…, А_j ,…, А_n)=

= detА + сdet(А₁ ,…,А_j ,…, А_j ,…, А_n) = detА + с× 0 = detА .



Как доказано в Теореме в п.4.2 матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду . Пусть при этом t - количество ЭП-II. Если rgA < n, то в матрице существует нулевая строка. В частности п-я строка = (0, 0,…,0) = 0× и |A| = (-1)^t| | = =(-1)^tdet( ,…, )=(-1)^tdet( ,…,0× )=(-1)^t0×det( ,…, )=

= 0.

Если rgA = n, то матрица имеет треугольный вид

= , и | | = = … , а

|A| = (-1)^t| | =(-1)^t … .