Определитель транспонированной матрицы.

Date: 2015-10-07; view: 421.

Лекция 9.

Для (m´n)-матрицы C=(c_ij) транспонированной матрицей называется (n´m)-матрица C ^t = (c¢_ji) , где c¢_ji = c_ij.

Теорема.|A ^t| =|A|.

Доказательство. Пусть функция матрицы F(A) = |A^t|. Рассмотрим F(A) как функцию F(А₁,…,А_n) строк А₁,…,А_n матрицы A. Тогда F(А₁,…,А_n) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А, так как строки матрицы А – это столбцы матрицы A^t, а |A^t| - полилинейная кососимметричная функция столбцов матрицы A^t. По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где с = F(E) = |Е ^t| = |Е| = 1, то

есть |A^t| =|A|.