Определитель матрицы с углом нулей.

Date: 2015-10-07; view: 503.

Разложение определителя по строкам.

Теорема." i |A|= = .

Доказательство.Разложим |A^T| по i-му столбцу:

|A^T| = = - это и есть разложение определителя |A| по i-й строке.



Теорема.Пусть матрица Н имеет блочный вид:

Н = , где (п´п)-матрица A = ,

(m´m)-матрица C = , (n´m)-матрица

B = , а (m´n)-матрица 0 = . Тогда |H| = |A|× |C|.

Доказательство. Рассмотрим |H| как функцию F(C) матрицы C. Эта функция полилинейна и кососимметрична относительна строк матрицы C. По обратной теореме об определителях F(C) = a|C|, где a = F(E) = det . Если разложить последний определитель по последней строке, то получим F(E) =(-1)^n+m+п+mM_n+m,п+m . Далее снова раскладывая определитель M_n+m,п+m по последней строке и повторяя эту процедуру m – 1 раз, получим, что a =F(E)=|A|, и |H|=|A|×|C|.