Теоремы о базисах.

Date: 2015-10-07; view: 491.

Теорема 1. Пусть е₁,…,е_п – базис линейного пространства L. Тогда любой вектор а Î L однозначно выражается через базис в виде а = b₁×е₁+…+b_п×е_п для некоторых b₁,…,b_пÎ Р.

Доказательство. Пусть а Î L. Так как dim L = п, то п+1 векторов а,е₁,…,е_п линейно зависимы, то есть $ a,a₁,…,a_пÎР, не все равные нулю, такие, что a×а +a₁×е₁+…+a_п×е_п=0_L , причем a ¹ 0, так как векторы е₁,…,е_п линейно независимы. Тогда а=a ^-1a₁×е₁+…+a ^-1a_п×е_п=b₁×е₁+…+b_п×е_п, где b₁=a ^-1a₁,…, b_п =a ^-1a_п .

Докажем однозначность. Пусть а = b₁×е₁+…+b_п×е_п =

=g₁×е₁+…+g_п×е_п Þ (b₁ -g₁ )е₁+…+(b_п -g_п)е_п= 0_L Þ b₁ - g₁ =0,…, b_п -g_п= 0, так как векторы е₁,…,е_п линейно независимы Þ

b₁ = g₁ ,…, b_п = g_п – это и означает однозначность.

ÿ

Теорема 2 (обратная).Пусть е₁,…,е_п – такая система векторов в L, что любой вектор а Î L однозначно выражается через е₁,…,е_п в виде а = b₁×е₁+…+b_п×е_п для некоторых

b₁,…,b_пÎ Р. Тогда е₁,…,е_п – базис линейного пространства L.

Доказательство. 1. е₁,…,е_п – линейно независимая система векторов в L, так как если a₁×е₁ +…+a_п×е_п = 0_L =

= 0×е₁ +…+ 0×е_п , то из однозначности a₁= 0,…,a_п = 0. Следовательно, в L существуют п линейно независимых векторов.

2. Покажем, что в L любые п+1 векторов линейно зависимы.

Пусть а₁,…,а_п+1 Î L. Тогда а₁ = b₁₁×е₁+…+b_1п×е_п ,…,

а_п+1 =b_п+1,1×е₁+…+b_п+1,п×е_п . Покажем, что существуют

х₁,…,х_п+1 ÎР, не все равные нулю, такие, что

х₁а₁+…+х_п+1а _п+1 = 0. Но х₁а₁+…+х_п+1а _п+1 =

= (b₁₁ х₁+…+b_п+1,1х_п+1)е₁+…+(b_1п х₁+…+b_п+1,пх_п+1)е_п , и однородная система п уравнений с п+1 неизвестным

имеет ненулевое решение (см.4.3).

Таким образом, dim L = n, и е₁,…,е_п – базис в L.

ÿ

Теорема 3. Если е₁,…,е_п – базис линейного пространства L, то е₁,…,е_п – максимальная линейно независимая система векторов в L, то есть при добавлении к этой системе любого вектора получится линейно зависимая система векторов.

Доказательство. Так как е₁,…,е_п – базис, то dim L = n, и из определения размерности следует, что любые п+1 векторов линейно зависимы.

ÿ

Теорема 4(обратная). Если е₁,…,е_п – максимальная линейно независимая система векторов в L, то е₁,…,е_п – базис линейного пространства L.

Доказательство. Пусть а Î L. Так как п +1 векторов

а, е₁,…,е_п линейно зависимы, то, как и в Теореме 1, вектор а линейно выражается через е₁,…,е_п . Из линейной независимости векторов е₁,…,е_п , как и в Теореме 1, следует, что выражение а через е₁,…,е_п однозначно. Теперь по Теореме 2 мы получаем, что е₁,…,е_п – базис линейного пространства L.

ÿ

Теорема 5. dim P ⁿ = n.