Изоморфизм линейных пространств.
Date: 2015-10-07; view: 560.
Лекция 14.
Теорема 6. Любую линейно независимую систему векторов в пространстве L можно дополнить до базиса L.
Доказательство. Пусть а1,…,аk – линейно независимая система векторов в L. Если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk – базис линейного пространства L по Теореме 4. Если это не максимальная линейно независимая система векторов, то существует некоторый вектор аk+1 такой, что а1,…,аk ,аk+1 - линейно независимая система векторов в L. Опять, если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk+1 – базис линейного пространства L, а если не максимальная, то добавляем вектор аk+2 и т.д. пока не получим максимальную линейно независимую систему векторов, то есть базис.
ÿ
Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L и хÎL. Тогда х = х1×е1 +…+хп×еп , и набор (х1,…,хп) называется координатами вектора х в базисе е1,…,еп .
Упражнение. Доказать, что если (х1,…,хп) координаты вектора х, а (у1,…,уп) координаты вектора у в базисе е1,…,еп , то координатами вектора х+у будет набор (х1+у1,…,хп+уп), а координатами вектора a х, aÎР, будет набор (a х1,…,a хп).
Определение. Отображение j : L1 ® L2 линейных пространств над полем Р называется изоморфизмом линейных пространств, если
1) j - биекция,
2) j - линейное отображение линейных пространств, то есть j(х+у)= j х +j у, j(a х) =a j х "х,уÎL1, "aÎР.
Тот факт, что линейные пространства L1 и L2 изоморфны, обозначают L1 » L2 .
Упражнение. Доказать, что если j :L1® L2 - изоморфизм линейных пространств, то j(0L 
)= 0L 
, j(- a)=- j(a) " aÎ L1.
Утверждение. Если L1 » L2 , то L2 » L1 (это симметричность изоморфизма).
Доказательство. Пусть отображение j :L1® L2 - изоморфизм линейных пространств. Так как j - биекция, то существует отображение j -1, и j -1– биекция. Покажем, что j -1- линейное отображение. Пусть j -1х = а, j -1у = b. Тогда j а = х, j b = у Þ j(а + b)= х + у Þ j -1(х + у)= а + b =j -1х+j -1у,
j(a а) = a х Þ j -1(a х)= a а = a j -1х.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Теоремы о базисах. | | | Упражнения. |