Упражнения.
Date: 2015-10-07; view: 450.
1. Доказать, что L1 » L1 (это рефлексивность изоморфизма).
2. Доказать, что если L1 » L2 и L2 » L3 , то L1 » L3 (это транзитивность изоморфизма).
Таким образом, отношение изоморфности между линейными пространствами рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, все линейные пространства разбиваются на непересекающиеся классы изоморфных.
Утверждение. Если L1 » L2 , то dim L1 = dim L2.
Доказательство. Пусть j : L1® L2 - изоморфизм линейных пространств, и е1,…,еп – базис линейного пространства L1. Покажем, что jе1,…,jеп – базис линейного пространства L2. В самом деле, если уÎ L2, то j -1уÎ L1,
j -1у=a1×е1 +…+aп×еп Þ у = a1jе1 +…+aпjеп . Кроме того, jе1,…,jеп – линейно независимы, так как если
a1jе1 +…+aпjеп = 0, то j(a1е1 +…+aпеп) = 0 = j (0) Þ
a1е1 +…+aпеп = 0 (из инъективности j) Þ a1 =…=aп = 0.
Таким образом, любой вектор из L2представляется в виде линейной комбинации векторов jе1,…,jеп , и из их линейной независимости следует, что это представление однозначно (см. Теорему 1). Из Теоремы 2 следует, что jе1,…,jеп –
базис в L2.
ÿ
Теорема. Если dim L = n, то L » P n.
Доказательство. Пусть dim L = n, и е1,…,еп – базис в L . Рассмотрим j : L ® P n такое, что " х = х1е1 +…+хпеп Î L
j х= (х1 ,…,хп)Î P n. Из однозначности представления х в виде х = х1е1 +…+хпеп следует, что j определено корректно. Биективность j очевидна. Линейность j требовалось доказать в упражнении в 7.2.
ÿ
Следствие. Все пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство P n. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Изоморфизм линейных пространств. | | | Подпространства. |