Подпространства.

Date: 2015-10-07; view: 459.

Пусть L - п-мерное линейное пространство над полем Р (так как L » P ⁿ, то, не теряя общности, можно было бы считать, что L =P ⁿ).

Утверждение. Пересечение любого семейства подпространств в L является подпространством.

Доказательство. Пусть L_i ,iÎ I, - подпространства в L, где I – некоторое множество индексов, L¢ = . Докажем, что L¢ - подпространство в L.

I. Пусть х, уÎ L¢ Þ х, уÎ L_i " iÎ I Þ х+ у, a хÎ L_i " iÎ I, "aÎ P Þ х+ у, a хÎ = L¢.

II.2. Так как 0_L Î L_i " iÎ I Þ 0_L Î = L¢.

ÿ

Утверждение. Пусть L₁, L₂ – подпространства, и L₁Í L₂ .

Тогда dimL₁£ dimL₂ , и если dimL₁= dimL₂ , то L₁= L₂ .

Доказательство. Пусть L₁Í L₂. Тогда базис подпространства L₁ является линейно независимой системой векторов в L₂ , и её можно дополнить до базиса L₂ . И значит, число векторов в базисе L₂ не меньше, чем число векторов в базисе L₁, то есть dimL₁£ dimL₂. Если же dimL₁= dimL₂ , то любой базис

подпространства L₁ является базисом подпространства L₂ , и любой вектор из L₂ , являясь линейной комбинацией базисных векторов, содержится в L₁. Следовательно, L₂Í L₁Þ

L₂= L₁.

ÿ

Рассмотрим способы задания подпространств в L.

Определение.Пусть векторы а₁,…,а_mÎL. Линейной оболочкой системы векторов {а₁,…,а_m} называется ³⁾наименьшее ¹⁾подпространство в L , ²⁾содержащее векторы а₁,…,а_m. Эту линейную оболочку мы будем обозначать <а₁,…,а_m>.

В нашем определении для линейной оболочки требуется выполнение трех условий: 1) <а₁,…,а_m> - подпространство, 2) это подпространство должно содержать векторы а₁,…,а_m, 3) среди всех таких подпространств линейная оболочка – наименьшее (по включению) подпространство, то есть содержится в любом другом подпространстве, для которого выполняются условия 1), 2).

Покажем, что линейная оболочка системы векторов существует.

Утверждение. Линейная оболочка системы векторов {а₁,…,а_m} равна пересечению всех подпространств из L, содержащих эти векторы.

Доказательство. Очевидно, множество таких подпространств не пусто, так как содержит тривиальное подпространство L. Далее, ¹⁾пересечение всех таких подпространств – подпространство, ²⁾содержащее векторы {а₁,…,а_m}. И наконец, ³⁾это подпространство - наименьшее, так как пересечение подмножеств содержится в любом из пересекающихся подмножеств.

ÿ

Утверждение. <а₁,…,а_m>= {a₁a₁ +…+a_ma_m|a₁,…,a_mÎ P}, то есть линейная оболочка системы векторов {а₁,…,а_m} равна множеству всевозможных линейных комбинаций векторов {а₁,…,а_m}.

Доказательство. ¹⁾Докажем, что

V = {a₁a₁ +…+a_ma_m|a₁,…,a_m Î P} – подпространство.

I. Пусть х, у Î V, x = a₁a₁ +…+a_ma_m , y = b₁a₁ +…+b_ma_m Þ

x+y=(a₁+b₁)a₁+…+(a_m+b_m)a_m , ax= (aa₁)a₁+…+(aa_m)a_mÎ V.

II.2. 0 = 0a₁ +…+0a_m Î V.

²⁾Очевидно, а₁ = 1×а₁ + 0×а₂ +…+ 0×а_m Î V. Аналогично,

а₂,…, а_mÎ V.

³⁾Пусть подпространство W' а₁, а₂ ,…, а_m Þ все

a₁a₁ +…+a_ma_mÎ W Þ VÍ W.

Следовательно, V – наименьшее подпространство, содержащее векторы а₁, а₂ ,…, а_m Þ V = <а₁,…,а_m>.

ÿ

Определение.Если V = <а₁,…,а_m>, то векторы а₁,…,а_m называются образующими подпространства V.

В этом случае любой вектор из V представляется в виде линейной комбинации системы образующих. Если к тому же векторы а₁,…,а_m линейно независимы, то такое представление однозначно, и система образующих является базисом линейного пространства V.