Лекция 15.

Date: 2015-10-07; view: 457.

Определение.Рангом системы векторов {а₁,…,а_m} называется число rg {а₁,…,а_m} = dim<а₁,…,а_m>.

По аналогии с элементарными преобразованиями строк

матрицы или системы линейных уравнений (см.4.2) определим элементарные преобразования (ЭП) системы векторов S = {а₁,…,а_m}.

Определение. Будем говорить, что система векторов S¢ получается из системы векторов S элементарным преобразованием I-го типа (S S¢), если i-й вектор системы S¢ получается прибавлением к i-му вектору системы S j-го вектора системы S, умноженного на коэффициент сÎ Р (j¹ i). А все остальные векторы системы S¢ совпадают с соответствующими векторами системы S.

При элементарном преобразовании II-го типа в системе S меняются местами i-й и j-й векторы.

При элементарном преобразовании III-го типа в системе S i-й вектор умножается на коэффициент сÎ Р, с ¹ 0.

Если координаты системы векторов записывать по строкам матрицы, то при элементарных преобразованиях системы векторов происходят такие же элементарные преобразования со строками матрицы.

Упражнение. Доказать, что если S S¢, то S¢ S, причем обратное ЭП - того же типа.

Докажем, что при элементарных преобразованиях не меняется линейная оболочка системы векторов и, следовательно, ранг системы векторов, то есть если S S¢, то <S>=< S¢> и rg S = rg S¢.

Утверждение. Если S S¢, то < S¢>Í <S>.

Доказательство.Так как S¢ содержится в подпространстве <S>, то подпространство <S¢>- наименьшее подпространство, содержащее S¢ - содержится в <S>, то есть < S¢>Í <S>.

Следствие. Если S S¢, то < S¢>Í <S>, и S¢ S, то есть < S>Í <S¢>, и значит, <S>=< S¢>, и rg S = rg S¢.

Покажем, как находить ранг системы векторов S. Пусть

S = {а₁,…,а_m}, и в координатах a_i = (a_i1,…,a_in), i =1,…,m.

Запишем координаты векторов из S по строкам матрицы A, и будем делать над этими строками элементарные преобразования так (см. 4.2), чтобы привести эту матрицу к ступенчатому виду

= , где число ненулевых строк равно r, r³ 0, и все элементы ¹ 0, i = 1,…,r.

Полученную соответствующую систему векторов обозначим

= { }, где . Очевидно, <S> = < >= = < >= { |a_iÎP}=

= < >. Покажем, что векторы линейно независимы. Пусть . Приравнивая координаты с номером k₁ в левой и правой частях равенства, получим = 0 Þ b₁= 0. Затем приравняем координаты с номером k₂ в левой и правой частях равенства и получим = 0 Þ b₂= 0. Далее переходим к координате с номером k₃ и т.д. Таким образом, мы получим, что b₁=…=b_r = 0, векторы линейно независимы, то есть являются базисом в < > и в <S>. И значит, dim<S>= dim< >= rg S = rg = r.

Отсюда следует корректность определения ранга в 4.2 – так как r = dim<S>, то r не зависит от способа приведения матрицы к ступенчатому виду.