Решение систем линейных уравнений (продолжение).

Date: 2015-10-07; view: 455.

Запишем систему линейных уравнений (4.1) в виде

S : .

И рассмотрим систему

S¢ : .

Очевидно, S¢ Þ S, и если уравнение F = 0 является следствием системы S, то S Þ S¢, и S Û S¢. Более того, S Û S¢ тогда и только тогда, когда уравнение F = 0 является следствием системы S. Это означает, что добавление к системе S или удаление из системы S¢ уравнения, которое является следствием системы S, не меняет множества решений системы S. Чтобы сделать систему проще, естественно удалять из системы все уравнения, которые являются следствиями остальных уравнений.

Утверждение. Если F = a₁F₁+a₂F₂+…+a_mF_m , то уравнение F = 0 является следствием системы S, и S¢ Û S.

Доказательство очевидно: любое решение системы S обращает в 0 все F₁ , F₂ ,…, F_m , и значит, обращает в 0 выражение F, так как a₁0 +a₂0+…+a_m0 = 0.

ÿ

Посмотрим, когда существуют такие a₁, a₂, …,a_m , что

a₁F₁+a₂F₂+…+a_mF_m=F. Если такие a₁,a₂, …,a_m существуют, то, сравнивая коэффициенты при х₁ , х₂ ,…, х_п и правые части уравнений, получим, что a₁, a₂, …,a_m являются решениями следующей системы из п+1 уравнений:

Q : .

Наоборот, если a₁, a₂ , … , a_m - решения этой системы, то a₁F₁+a₂F₂+…+a_mF_m = F. Таким образом, F = a₁F₁+…+a_mF_m Û существует решение системы Q Û (по теореме Кронекера-Капелли) равны ранги матриц

и , или равны ранги транспонированных матриц

и .

Следовательно, если ранги этих матриц равны, то последнее уравнение в системе S¢ можно отбросить и перейти от системы S¢ к системе S.

Предположим теперь, что нам дана СЛУ (4.1), у которой ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы равны r (то есть система совместна). Для простоты будем считать, что отличный от нуля минор M_r порядка r находится в левом верхнем углу матрицы А. Тогда все уравнения, начиная с (r+1)-го и до т-го, являются линейными комбинациями первых r уравнений, и значит, их следствиями. То есть наша СЛУ равносильна системе из первых r уравнений, а уравнения с (r+1)-го и до т-го мы можем отбросить. Оставшиеся r уравнений мы запишем в виде

.

Так как определитель основной матрицы этой системы равен M_r ¹ 0, то, решая эту систему по Крамеру, получим х_i= /M_r , i= 1,…,r, где - определители, зависящие от х_j, j= r+1,…,n. Раскрывая эти определители, пользуясь линейностью по i-му столбцу, получим: =D_i + с_i,r+1 х_r+1+…+ с_i,nх_n, i=1,…,r. Подставляя эти формулы в х_i= /M_r , получим выражения главных неизвестных через свободные.