Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

Date: 2015-10-07; view: 404.

Лекция 17.

8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определи­теля.

Теорема.Пусть А – (п,п)-матрица. Тогда равносильны следующие условия:

1. det A = 0,
2. rg A < n,
3. однородная СЛУ с основной матрицей А имеет ненулевое решение,
4. столбцы матрицы А линейно зависимы,
5. строки матрицы А линейно зависимы.

Доказательство. Из определения ранга rk 1 Û 2. Если det A ¹ 0, то, например, по правилу Крамера существует только нулевое решение однородной СЛУ с основной матрицей A. Наоборот, если det A = 0, rg A = r < n, то у однородной СЛУ существуют n – r свободных неизвестных (см. 4.3), и, значит, существует ненулевое решение. Отсюда 1 Û 3. Далее, существование ненулевого решения для однородной СЛУ равносильно линейной зависимости вектор-столбцов матрицы А (см. 7.5), то есть 3 Û 4. Так как det A = det A^Т, то 1 Û 5.

ÿ

Определим произведение строки А₁ = (a₁, a₂, …, a_m) на столбец В¹ = по формуле А₁×В¹ = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a_mb_m .

Теперь определим произведение (m,n)-матрицы A на (n,k)-матрицу В. Пусть А₁, А₂,…, А_т – строки матрицы А, и В¹, В²,…,В^k – столбцы матрицы В. Тогда по определению А×В= С, где С - (m,k)-матрица, у которой все элементы с_ij = А_i×В^j.