Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

Date: 2015-10-07; view: 356.

Замечания.

1.Легко видеть, что кольца Р[x₁][x₂] и Р[х₂][x₁] – изоморфны (определение изоморфизма для колец такое же, как и для полей – см. Лекцию 12, 6.5).

2. Аналогичным образом " п строится кольцо многочленов от п переменных P[x₁,…,x_n] с коэффициентами в поле Р.

Далее мы будем рассматривать кольцо многочленов Р[x]

с коэффициентами в некотором поле Р.

Когда это не вызовет недоразумений, мы будем обозначать нейтральные элементы кольца Р[х] через 0 и 1.

Теорема 1. В кольцеP[x] деление с остатком существует и единственно, то есть " f(x), g(x)Î P[x], g(x)¹ 0, $ единственная пара q(x), r(x)Î P[x] такая, что f(x) = g(x)q(x)+ r(x) и ст.r(x)< ст.g(x). (r(x) называется остатком от деления f на g).

Доказательство существования деления индукцией по степени многочлена f.

Пусть f = a_kх^k + a_k-1х^k-1 +…+ a₁х + a₀,

g = b_mх^m + b_m-1х^m-1 +…+ b₁х + b₀ .

1. Если ст.f < ст.g, то f = g×0+ f, то есть q, r существуют, q= 0, r = f.

2. Если ст.f ³ ст.g, то рассмотрим f₁ = f - a_k(b_m)^-1 x ^k-mg. Очевидно, ст.f₁ < ст.f, и по предположению индукции можно считать, что для f₁ и g утверждение верно, то есть $ q₁, r₁Î P[x] такие, что f₁ = gq₁ + r₁ , и ст.r₁ < ст.g. Но тогда

f = f₁ + a_k(b_m)^-1x ^k-mg = gq₁ + r₁ + a_k(b_m)^-1x ^k-mg =

= g(q₁+a_k(b_m)^-1x ^k-m)+r₁= gq + r, где q = q₁+a_k(b_m)^-1x ^k-m, r = r₁,

и ст.r₁ < ст.g. Таким образом, существование деления с остатком в P[x] доказано.

Докажем единственность. Пусть f = gq + r = gq₁ + r₁, и ст.r < ст.g, ст.r₁ < ст.g. Тогда g(q – q₁)= r₁ - r, и если q ¹ q₁, то ст.g(q – q₁)³ ст.g, а ст.(r₁ – r) < ст.g - противоречие. Значит, q = q₁, r = r₁. Это и означает единственность деления с остатком в P[x].

ÿ

Теорема Безу.Пусть f Î P[x], aÎ P. Если r – остаток от деления многочлена f на (х – а), то r = f(a).

Доказательство.Пусть f =(x – a)q +r, ст.r < ст.(х – а)=1 Þ rÎ P, и при х = а f(а) =(а – a)q(а) +r Þ r = f(а).