Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.

Date: 2015-10-07; view: 383.

Лекция 21.

Следствия.

1. Если многочлен f(x) имеет корень а, то есть f(a) = 0, то (х – а) | f(a), f(x) = (х – а)g(x).

2. Если многочлен f(x) имеет различные корни а₁,а₂,…, а_k, то f(x) = (х – а₁)(х – а₂)… (х – а_k)h(x).

Доказательство. В самом деле, если f(x) имеет корень а₁, то f(x) = (х – а₁)f₁(x). Далее, если f(а₂) = 0, то

f(а₂) = (а₂ – а₁)f₁(а₂) = 0 Þ f₁(а₂) = 0 Þ f₁(x) = (х – а₂)f₂(x) Þ f(x) = (х – а₁)(х – а₂) f₂(x). И так далее.

3. Если f(x) имеет k различных корней, то k £ ст.f.

Определение. Многочлен F называется кратным многочлена f, если f |F. Многочлен F называется общим кратным многочленов f и g, если f |F, g |F. Многочлен т называется наименьшим общим кратным многочленов f и g, если т ¹ 0 и т имеет наименьшую степень среди всех общих кратных.

Очевидно, fg – общее кратное для f и g, то есть общие

кратные для f и g существуют, а следовательно, существуют и наименьшие общие кратные.

Теорема. Если М - общее кратное для f и g, а т - наименьшее общее кратное, то т | M.

Доказательство. РазделимМ на т с остатком: М=тq+ r, и ст.r < ст.т Þ r = M – mq , и так как f и g делят правую часть равенства, то f | r, g |r, то есть r – общее кратное для f и g. Но т – наименьшее общее кратное для f и g, а ст.r < ст.т Þ r = 0 Þ т | M.

ÿ

Следствие. Если т₁ и т₂ наименьшие общие кратные для f и g, то т₁|т₂ и т₂|т₁ Þ т₂ = aт₁, т₁ = bт₂ Þ т₂ = abт₂ Þ т₂(1 – ab) = 0 Þ 1 – ab = 0 Þ ab = 1 Þ a, b Î P. Следовательно, любые два наименьших общих кратных для f и g

отличаются на ненулевой множитель из Р. Наоборот, если т – наименьшее общее кратное для f и g , то " а Î Р, а ¹ 0, ат - также наименьшее общее кратное для f и g, и значит, {am |а Î Р, а ¹ 0} – множество всех наименьших общих кратных для f и g.