Следствия.

Date: 2015-10-07; view: 380.

Определения.

1. Многочлен D называется наибольшим общим делителем многочленов f и g , если D имеет наибольшую степень среди всех общих делителей f и g.

2. Многочлены f и g называются взаимно простыми, если 1 является их наибольшим общим делителем.

Теорема. 1) Если т – наименьшее общее кратное для f и g, то D =(fg)/m – их наибольший общий делитель. 2) Если d - общий делитель многочленов f и g, а D¢ – их наибольший общий делитель, то d |D¢.

Доказательство. Очевидно, D | f, так как f / D = m /g = =hÎP[x]. Аналогично, D | g. Следовательно, D - общий делитель для f и g. Если d – произвольный общий делитель для f и g , то M = (fg)/d – общее кратное для f и g , так как М / f = = g / d ÎP[x] и аналогично М / g ÎP[x]. По предыдущей теореме т | M, то есть М = qm Þ (fg)/d = q(fg) / D Þ D =qd Þ d |D Þ ст.D ³ ст.d Þ D – наибольший общий делитель для f и g.

Теперь если D¢ – произвольный наибольший общий делитель многочленов f и g, то ст.D¢ = ст.D, и D¢|D Þ D = aD¢, а Î РÞ d |D¢.

ÿ

1. Если D – наибольший общий делитель многочленов f

и g, то {aD | a Î P, a ¹ 0} – множество всех наибольших общих делителей многочленов f и g .

2. Если f и g – взаимно простые многочлены, то fg является их наименьшим общим кратным.

Определение.Пусть т, п Î N. Разделить т на п с остатком – это найти такие q и r, что m = nq + r, 0 £ r < n .

Замечание. Для множества N натуральных чисел можно дать определения, аналогичные определениям из 10.3 и доказать теоремы, аналогичные теоремам из 10.2, 10.3.

Упражнение. Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам из 10.2, 10.3, для N.