Доказательство.

Date: 2015-10-07; view: 415.

Þ. Пусть L₁ L₂ ' х, х ¹ 0 Þ х = х + 0, хÎ L₁, 0ÎL₂ ,

х = 0 + х, 0Î L₁, х Î L₂ . Следовательно, для х представление неоднозначно, то есть сумма подпространств – не прямая.

Ü. Пусть L₁ L₂ = {0}, и для а Î L₁+ L₂ имеем два представления а = х₁ + х₂ = у₁ + у₂ , х₁ , у₁ Î L₁, х₂, у₂Î L₂ . Тогда х₁ – у₁ = у₂ – х₂Î L₁ L₂ = {0} Þ х₁ = у₁ , х₂ = у₂ . Следовательно, оба представления для а совпадают, и сумма подпространств – прямая.

ÿ

Упражнение. Доказать, что L₁ +…+L_k = L₁ Å…ÅL_k Û

(L₁ +…+L_i ) L_i+1 = {0} " i =1,2,…,k-1.

Теорема 2.Пусть {e₁ ,…,e_k} – базис подпространства L₁, {e_k+1 ,…,e_m} – базис подпространства L₂ . Тогда

L₁ + L₂ = L₁ Å L₂ Û {e₁ ,…,e_k} {e_k+1 ,…,e_m} – базис подпро-

странства L₁ + L₂.