Матрица линейного отображения.

Date: 2015-10-07; view: 397.

Простейшие свойства линейных отображений.

1. j(0_L)= 0_L¢ , но в общем случае j ^-1(0_L¢)¹ 0_L , хотя

j ^-1(0_L¢)' 0_L – см. примеры 1- 4.

1. j(-a) = - j a "a Î L.
2. j( )= .

Действительно, j(0_L) = j(0×0_L) = 0×j(0_L) = 0,

j(-a)= j((-1)×a)= (-1)×j a = - j a, а свойство 3 доказывается индукцией по k.

Упражнение.Найти j ^-1(0_L¢ ) в примерах 1-5.

Пусть Lⁿ, L^m - линейные пространства над полем P,

j: Lⁿ ® L^m - линейное отображение, e={e₁,…,e_n} - произволь­ный базис в Lⁿ.

Лемма 1. Линейное отображение j: Lⁿ ® L^m полностью и однозначно определяется образами базисных векторов

j e₁ ,…,j e_n .

Доказательство.Пусть x ÎLⁿ, x = . Тогда

j x = j( )= Þ " xÎLⁿ jx определяется векторами j e₁ ,…,j e_n причем однозначно.



Пусть j: Lⁿ ® L^m - линейное отображение, e={e₁,…,e_n} –

базис в Lⁿ, e¢={e¢₁,…,e¢_m} – базис в L^m. Выразим векторы j e_j через базис e¢. Пусть j e_j = , j=1,…,n. Матрицу

(a_ij) размером m´n будем называть матрицей линей­ного

отображения j в базисах e и e¢ и обозначать , или , или [j], если ясно, какие базисы имеются ввиду. Очевидно, = [ ], то есть j-й столбец матрицы - это столбец координат вектора j e_j в базисе e¢. Единственность матрицы линейного отображения j при фиксированных базисах e и e¢ следует из леммы 1 и единственности координат вектора в данном базисе.

Упражнение. Найти матрицы линейных отображений в примерах 1-5.

Замечание. Пусть по определению [x] = [ ] = - столбец координат вектора x в базисе e. Если допустить умножение векторов на элементы поля справа, положив по определению а×a = a×а "aÎР, "аÎL (проверить корректность!), то можно написать в матричном виде следующие равенства:

х = e₁х₁+…+e_nх_n = (e₁,…,e_n)×[х] = e×[х], (13.1)

(je₁,…,je_n) = (e¢₁,…,e¢_m)×[j] или jе=е¢×[j].

Лемма 2. Пусть e={e₁,…,e_n} – базис в Lⁿ, {a₁,…,a_n} – про­извольная система векторов в L^m. Тогда $! линейное отобра-­

жение j: Lⁿ ® L^m такое, что j e_i= a_i, i=1,…,n.