Доказательство.

Date: 2015-10-07; view: 376.

1. Единственность. Пусть искомое j существует. Тогда для

x = имеем jx = j( )= = - отсюда единственность.

2. Существование. Пусть для произвольного x = по

определению j x =j( )= . (Из п.1 видно, что

никак иначе отображение j мы определить и не можем).

Тогда j - линейное отображение, так как " x = Î Lⁿ,

у = Î Lⁿ и "a,bÎ Р имеем

j(a x + bу)=j(a +b )=j( ) =

= = a + b = aj x + bj у. Кроме того, j е_i=j(0·е₁+…+1·е_i+…+0·е_n)=0·a₁+…+1·a_i+…+0·a_n= a_i.

ÿ

Замечание. Линейное отображение j называется продолжением по линейности отображения базисных векторов

j¢: {e₁,…,e_n} ® L^m такого, что j¢ e_i= a_i, i=1,…,n.

Следствия. 1." т´п-матрицы А $! линейное отображение j : Lⁿ ® L^m такое, что = А – для этого надо выбрать векторы a₁,…,a_n, координаты которых в базисе е¢, записанные по столбцам, образуют матрицу А, и применить лемму 2.

2. При фиксированных базисах е в Lⁿ и е¢ в L^m соответс-

твие j « является биекцией между множеством линей-

ных отображений из Lⁿ в L^m и множеством т´п-матриц.

Пусть x ÎLⁿ , y = j xÎ L^m. Найдем связь координат векто­ров x в базисе e и y = j x в базисе e¢. Если x = ,

y=j x=j( )= = ( )= e¢_i= = , то y_i = . То есть [ ]= ×[ ] или

[ ] = ×[ ].

В матричном виде, следуя (13.1), можно получить эту формулу так: jх = j(е[x]) = j(е)×[x] = e¢[j]×[x] = y =e¢[y] Þ [y] = [jx] = [j]×[x].