Доказательство теоремы.

Date: 2015-10-07; view: 423.

1. Пусть е – некоторый фиксированный базис в Lⁿ. Опреде­лим отображение c: Ф(Lⁿ) ® М_n(Р), где М_n(Р) – алгебра

n´ n-матриц над Р. Пусть"jÎФ(Lⁿ) по определению cj=[ ].

Как мы уже видели, c - биекция.

2. Отображение c: < Ф(Lⁿ),+, , > ® < М_n(Р),+,× , > является изоморфизмом универсальных алгебр, так как по результатам пп.13.2-13.4

c(j+y) = [j+y] = [j] + [y] = cj + cy,

c(j y) = [j y] = [j]×[y] =cj ×cy,

c(r×_pj) = [r×_pj] = r ×_p[j] = r ×_p cj .

3. Так как < М_n(Р),+,× , > - алгебра, то <Ф(Lⁿ),+, , > - алгебра, и эти алгебры изоморфны. В качестве примера до­кажем дистрибутивность в Ф(Lⁿ): " j, y, x Î Ф(Lⁿ)

c((j+y) x) = c(j+y)×cx = (cj + cy)×cx = cj×cx + cy×cx =

= c(j x) + c(y x) = c(j x + y x)

Þ (j + y) x = j x + y x (из биективности c).

Остальные условия из определения алгебры проверяются аналогично.