При изменении базисов.
Date: 2015-10-07; view: 425.
Изменение матрицы линейного отображения
Пусть e={e1,…,en} и e¢ = {e¢1,…,e¢n} – два базиса в пространстве Ln, u={u1,…,um} и u¢ = {u¢1,…,u¢m} – два базиса в пространстве Lm, Т1 = 
, Т2 = 
- матрицы перехода, и j : Ln ® Lm - линейное отображение. Найдем зависимость между матрицами [ 
] = [j] и [ 
] = [j]¢ линейного отображения j в базисах е, и и е¢, и¢ соответственно.
Если y = j х, то в базисах е, и имеем [y] = [j][x], а в базисах е¢, и¢ соответственно [y]¢ = [j]¢[x]¢. Но [x] = Т1 [x]¢,
[y]=Т2[y]¢, так что Т2[y]¢=[j]Т1[x]¢ и [y]¢=Т2-1[j]Т1[x]¢= [j]¢[x]¢. Отсюда [j]¢ = Т2-1[j]Т1 или [ ] = -1[ ] . В частном случае при Ln = Lm, е = и, е¢ = и¢ для линейного оператора
j : Ln® Lп получаем [ 
] = 
[ 
] , то есть [j]¢= Т-1[j]Т,
где [j] = [ ], [j]¢= [ ], Т = .
Лемма. Для линейного оператора j : Ln ® Lп det[ ] не
зависит от базиса.
Доказательство. det 
= det[j]¢ = det Т-1det[j]det Т=
= det (Т-1Т)det[j] = det Е det[j] = det[j] = det[ ].
Определение. Определителем detj линейного оператора
j : Ln ® Lп называется det[ ] - определитель матрицы линейного оператора j в произвольном базисе е .
Из леммы следует, что наше определение корректно.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Лекция 26. | | | Эквивалентные матрицы. |