Доказательство.

Date: 2015-10-07; view: 441.

Теорема 1.

Определения.

ОБРАЗ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть j : L ® L^¢ - линейное отображение.

1. Образом линейного отображения j называется множество Imj = {y Î L^¢ |$ xÎ L: y = j x}, то есть Imj = {jx| x Î L} =

= jL Ì L^¢.

2. Ядром линейного отображения j называется множество Kerj = {xÎ L| j x = 0}, то есть Kerj = j ^-1(0_L¢)Ì L.

1. Imj - подпространство в L^¢.
2. Kerj - подпространство в L.

Эта теорема – частный случай теоремы 2.

Теорема 2. Пусть j : L ® L^¢ - линейное отображение, V –

подпространство в L, W – подпространство в L¢. Тогда j V - подпространство в L¢, j ^-1W – подпространство в L (образы и прообразы подпространств при линейных отображениях яв­ляются подпространствами).

Доказательство.

1. Пусть y₁, y₂ÎjV Þ $ х₁, х₂Î V такие, что y₁=jх₁, y₂=jх₂.

"a,bÎР aх₁+bх₂ÎV, так как V – подпространство Þ j(aх₁+bх₂)=aj х₁+bj х₂= a у₁+b у₂ÎjVÞ jV - подпростран­ство.

2. Пусть х₁, х₂Î j ^-1W Þ jх₁, jх₂Î W Þ "a,b Î Р

aj х₁+bj х₂ = j(aх₁+b х₂) Î W, так как W – подпространство Þ aх₁+bх₂Î j ^-1W Þ j ^-1W - подпространство.

ÿ

Теорема 3.j - инъекция Û Kerj = {0}.

Þ . Если Kerj ' х ¹ 0, то j х = j 0 = 0Þ j - не инъекция.

Ü . Если j х₁= j х₂, то j х₁ - j х₂= j (х₁ – х₂)= 0 Þ

х₁ – х₂Î Kerj = {0} Þ х₁ – х₂= 0 Þ х₁ = х₂ Þj - инъекция.

ÿ

Замечание. Kerj - мера неинъективности отображения

j: если y =j х, то j ^-1y = х + Kerj .

Доказательство.

1. j (х + Kerj)= j х +j(Kerj)=у + 0 = у Þ j ^-1y Ê х + Kerj.

2. Если х¢Î j ^-1y, то j х¢ = j х = у Þ j(х¢ - х) = 0

Þ х¢ - х Î Kerj Þ х¢ Î х + Kerj Þ j ^-1y Í х + Kerj.

ÿ

Теорема 4 (структура Imj). Пусть j : L ® L^¢ - линейное

отображение, е = {е₁,…, е_n} – базис в L, е¢= {е¢₁,…, е¢_m} – ба­зис в L¢, [j] - матрица j в базисах е, е¢. Тогда:

1. Imj = <j е₁,…,j е_n>,
2. dim Imj = rg[j].

Доказательство.

1. "xÎL, x= , j х = j( )= Î<j е₁,…,j е_n>

Þ Imj = <j е₁,…,j е_n>, {jе₁,…,j е_n} – система образующих для Imj .

2. dim Imj - это ранг системы векторов {j е₁,…,j е_n}, то есть ранг системы столбцов координат этих векторов [ ],…,[ ], которые явля­ются столбцами матрицы [j]. Отсюда dim Imj = rg[j].

ÿ

Следствие. Так как в равенстве dim Imj = rg[j] левая

часть от базиса не зависит, то и rg[j] во всех базисах один и

тот же.

Определение. Пусть j : Lⁿ® L^m - линейное отображение. Рангом отображения j называется число dim Imj = rg[j], которое мы будем обозначать rgj.

Дефектом отображения j называется число dim Kerj, кото­рое мы будем обозначать defj.

Теорема 5. rgj + defj = n = dimLⁿ.

Доказательство. Выберем базис {е₁,…,е_d} в подпростран­стве Kerj и дополним его до базиса {е₁,…, е_d, е_d+1,…, е_n} всего пространства Lⁿ. Тогда Imj =<j е₁,…,j е_d, j е_d+1,…,j е_n>=

= <j е_d+1,…,j е_n>, так как j е₁=…=j е_d= 0. Покажем, что {j е_d+1,…,j е_n} – базис в пространстве Imj. Для этого достаточно доказать, что векторы {j е_d+1,…,j е_n} – линейно независимы. Пусть a_d+1j е_d+1 +…+ a_nj е_n = 0 Þ

j(a_d+1е_d+1+…+a_nе_n) = 0Þ