Примеры.

Date: 2015-10-07; view: 396.

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Лекция 27.

Теорема 6. Для линейного оператора j :Lⁿ ® Lⁿ эк­вива­лентны следующие 10 условий:

1. Kerj = {0},
2. defj = 0,
3. rgj = n,
4. Imj = Lⁿ,
5. j - инъекция,
6. j - сюръекция,
7. j - биекция,
8. $ j ^-1,
9. $ [j]^-1,
10. detj ¹ 0.

Доказательство.

Очевидно, 1Û2 и 3Û4Û6 из определения, 2Û3 из тео-

ремы 5, 1Û5 из теоремы 3, 5&6Û7 из определения. Так как rgj = rg [j], а detj = det [j], то из теории определителей 3Û10, а из теории матриц 10Û9. Эквивалентность 9Û8 сле­дует из того, что [j]^-1= [j ^-1]. Либо можно доказать эквива­лентность 7Û8 следующим образом: 8Þ7 – из определения, а если имеет место 7, то, очевидно, отображение j ^-1$, и нам требуется лишь доказать его линейность. Пусть j ^-1х = u,

j ^-1y = v Þ j u = х, j v = y Þ j(a u+b v) =a х +b yÞ

j ^-1(a х +b y) = a u+b v = aj ^-1х + bj ^-1y Þ j ^-1 – линейно.

ÿ

Определение. Линейный оператор j называется невы­рожденным, если выполняется любое из десяти эквивалент­ных условий из Теоремы 6. В противном случае оператор называется вырожденным.

Определение. Для линейного оператора j :L ® L под­пространство V Í L называется инвариантным относительно j (или j-инвариантным), если jV Í V ("хÎV j хÎV).

1. {0} и L – инвариантные подпространства для любого ли­нейного оператора j :L ® L. Эти подпространства называ­ются тривиальными.

2. Пусть pr_<i,j>: Е³® Е³- ортогональное проектирование на плоскость < i , j >. По определению pr_<i,j>(xi+ yj+ zk)= xi+ yj. Тогда V₁ = < i, j > и V₂ = < k > - инвариантные подпространства, и Е³= V₁ Å V₂.

3. Пусть j : Е³® Е³ – поворот относительно оси < k >. Тогда V₁ = < i , j > и V₂ = < k > - инвариантные подпространства, и Е³= V₁ Å V₂.

4. Рассмотрим d/dx : P_n[x] ® P_n[x]. Тогда для k = 0,…,n

P_k[x] – инвариантные подпространства, но P_n[x] нельзя разложить в прямую сумму инвариантных подпространств.

Определение. Пусть j : L ® L линейный оператор в линейном пространстве L над полем Р, f(t)= a_kt ^k+ a_k-1t ^k-1+…+ +a₁t +a₀ Î P[t]. Тогда по определению f(j)= a_kj ^k+…+a₁j+ + a₀ id.

16.1. Свойства инвариантных подпространств.

Утверждения.

1. Сумма j-инвариантных подпространств j-инвариантна.

2. Пересечение j-инвариантных подпространств j-инва-

риантно.

1. Пусть V - j-инвариантное подпространство и

f(t)Î P[t]. Тогда V – инвариантно относи­тельно линейного оператора f(j ).