Свойства евклидовых пространств.
Date: 2015-10-07; view: 386.
Определения.
1. Назовём длиной вектора х Î Е выражение |x| = 
. Так как (x, x) ³ 0 " х Î Е, то длина определена " х Î Е.
2. Будем говорить, что х, у Î Е ортогональны, х ^ у, если
(х, у) = 0.
Теорема Пифагора. Если х ^ у, то |x + у|2 = | x |2 + | у |2 .
Доказательство.|x+у|2 =(х+у, х+у)= (х, х)+ (у, у)+2(х,у) = = | x |2 + | у |2.
ÿ
Следствие.Если х ^ у, то |x + у|2 ³ | x |2, |x + у| ³ | x |, причем |x + у|2 = | x |2 Û у = 0.
Теорема 2.Пусть х, у Î Е, х ¹ 0. Тогда $ aÎ R такое, что у = aх + z, где z ^ x.
Доказательство.z = у - aх, z ^ x Û (у - aх, x) = 0 Û
(у, х) - a(х, x) = 0 Û a = (у, х) / (х, x).
ÿ
Теорема(неравенство Коши-Буняковского). |(x, y)|£ |x||у|.
Доказательство.При х= 0 неравенство обращается в равенство. Если же х ¹ 0, то по теореме 2 у = aх + z, и по следствию из теоремы Пифагора | у | ³ |aх | = |a || х | =
= 
×|х | = 
Þ |x||у| ³ |(x, y)|, причем равенство имеет место лишь при z = 0, у = aх.
ÿ
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Примеры. | | | Следствия. |