ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Date: 2015-10-07; view: 399.

СОПРЯЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

Пусть z = a+bi , полагаем r =(def) =|z|, r — модуль комплексного числа z.

a+bi= , положим

= cos и = sin .

Пусть z¹0, тогда угол j определен однозначно с точностью до 2pk. Если 0£j£2p, то он определен однозначно. Угол j называют аргументом комплексного числа z, r и j — полярные координаты точки.

Из тригонометрии мы знаем как искать j, если известно a и b.

Если r=0, то j может быть любой, то есть аргумент нуля не определён; r¹0, то аргумент определен с точностью до 2πk.

z = r(cosj+i sinj) (1)

Назовем выражение (1) тригонометрической формой комплексного числа.

Если два комплексных числа равны, то их модули равны, а их аргументы, вообще говоря, отличаются на 2pk.

Теорема 1.

Пусть z₁ = r₁ (cosj₁+i sinj₁), z₂ = r₂ (cosj₂+i sinj₂). Тогда:

1) z₁z₂ = r₁r₂(cos(j₁+j₂)+i sin(j₁+j₂))

(модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов);

2)

(модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов).

Доказательство:

Докажем 1).

z₁z₂ =r₁r₂(cosj₁cosj₂–sinj₁sinj₂+i(sinj₁cosj₂+cosj₁sinj₂))=r₁r₂cos(j₁+j₂)+i sin(j₁+j₂)).

Аналогично с частным.

Следствие 1

Пусть z = r (cosj+i sinj), тогда z^(-1)= (cos(–j)+i sin(–j)).

Доказательство:

Z^(-1)= = = = (cos(–j)+i sin(–j)).

Следствие 2(формула Муавра).

Пусть z = r (cosj+i sinj). Тогда z^n= r^n(cos(nj)+i sin(nj)) для любого nÎZ.

Доказательство:

Если n — натуральное, то формула Муавра следует из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Если n — отрицательное, то можно представить z^n= (z ^-1)^(-n) и применить следствие (1) и доказанную формулу Муавра для nÎN.

Замечание.Тригонометрическая форма комплексного числа хорошо приспособлена для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень.