ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Date: 2015-10-07; view: 410.

Пусть z = a+bi.

Надо извлечь корень из z.

— ?

обозначим через z₁, то z1(^2)= z.

Пусть z₁ = x+iy, тогда

(x²–y²)+2xyi = a+bi,

Решив эту систему, мы найдем подходящие значения z1.

Если так действовать и для извлечения корней более высокой степени, то придётся уметь решать уравнения соответствующих степеней.

Для извлечения корня из комплексного числа хорошо приспособлена тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть z = r(cosj+i sinj), надо найти = z1, положим

z1=ρ (cosy+i siny), z1(^n)==ρⁿ(cos(ny)+i sin(ny), r = ρⁿ Þ ρ = , j = ny+2pk Þy = .

Получим

= (cos + i sin ) (1),

где k — любое целое число, то есть корень n–той степени из произвольного комплексного числа z всегда существует и его можно посчитать по формуле (1), причем формула (1) даёт все корни, если k пробегает множество целых чисел (достаточно ограничиться k = 0,…, n–1 )

Если возьмем k – любое, то мы можем разделить его с остатком на n:

k = nq+s ; 0£s£n–1

.

Углы [2] и [3] отличаются на кратное 2p, и поэтому косинусы и синусы от них совпадают, следовательно формула (1) при угле [2] и при угле [3] даёт одинаковое значение.

Если брать k от 0 до n–1 , то мы получим все значения. Нетрудно заметить, что все эти значения разные (смотри геометрическую интерпретацию).

Теорема 4.

Извлечение корня степени n из комплексного числа всегда возможно, и даёт n различных значений, получающихся по формуле (1).

Теорема нами доказана ранее.

Замечание(геометрическая интерпретация).

Все значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят окружность на n равных частей: