КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ.

Date: 2015-10-07; view: 464.

1=cos0+isin0 Þ =cos +isin , k=0,1,…,n-1.

Корни расположены на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на n равных частей.

Теорема 1.

Все значения корня n–той степени из комплексного числа z можно получить умножением одного из них на все корни из 1.

Доказательство:

Возьмём a = = (cos +i sin ), где s–фиксированное число.

e₁, e₂,…, e_n – так обозначим все корни .

Домножим каждый из корней e₁,…, e_n на a. Они разные, все являются корнями n–той степени из z, ибо (ae_i)ⁿ = z и их n штук.

Теорема доказана.

Теорема 2.

Произведение двух корней n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.

Следствие.

Степень корня n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.

Все ли корни из 1 равноправны?

n=4 ; 1, –1, i, –i — корни из единицы.

i; –i — первообразные корни; если i возводить в степени 0, 1, 2, 3, то получим все корни.

Определение 1.

Корень n–той степени из 1 называется первообразным, если он не даёт единицу в степени меньше, чем n.

Всегда ли есть первообразный корень?

Всегда! Например: cos +i sin .

Упражнение. Доказать, что корень n–той степени

e_k = cos + i sin будет первообразным, если n и k — взаимно простые (не имеют общих делителей отличных от 1)