СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.

Date: 2015-10-07; view: 449.

Пусть К ≠ Æ . Рассмотрим прямоугольную таблицу из n строк и m столбцов, состоящую из элементов К

(1)

aij — произвольный элемент таблицы, где i — номер строки, j — номер столбца, aij Î К " i,j. Таблицу (1) назовем матрицей размером n x m. Краткая запись (aij)(m x n)_. В будущем будем рассматривать (1) над числовыми полями. Матрицы будем обозначать A,B,C, а их элементы соответственно aij , bij, cij.

Определение 1. Две матрицы (aij), (bij) одинаковых размеров будем называть равными, если aij = bij " i,j.

Определение 2. Матрица называется квадратной, если m=n.

Определение 3. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны 0.

Пример:

Определение 4. Диагональная матрица, все элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.

Скалярная матрица, у которой элемент, стоящий на диагонали равен 1, называется единичной.

Пример:

Сложение матриц и их свойства.

Пусть n и m — фиксированные натуральные числа. Рассмотрим множество матриц над некоторым числовым полем Р размером n x m, обозначим его Р(n x m) .

Определение 5. Возьмем две матрицы A, BÎ Р(n x m)_. Под суммой матриц A и B (обозначают А+В) понимают матрицу С Î Р(n x m) такую, что cij =aij + bij, для всех i=1,…,n; j=1,…,m.,т.е. чтобы сложить две матрицы, надо сложить элементы, стоящие на одинаковых местах.

Свойство 1. Сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С = А + (В+С) и коммутативно, т.е. А+В=В+А " А,B,C Î Р(n x m)

Свойство 2. Если нулевую матрицу прибавить к произвольной матрице тех же размеров, то последняя не изменится.

Свойство 3. Для любой матрицы AÎР(n x m) $ BÎР(n x m) такая, что А+В=0. Такая матрица В называется противоположной к матрице А.

Умножение матрицы на число и его свойства.

Определение 6. Пусть AÎР(n x m), aÎР — произвольный элемент поля Р. Под произведением aА понимают матрицу В тех же размеров такую, что bij = aaij.

Свойство 1. 1А = А " А Î Р(n x m).

Свойство 2. (a+b) А = aА + bА. (Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел) " А Î Р(n x m), " a,b Î Р.

Свойство 3. a (А + В) = aА + aВ. (Умножение числа на сумму матриц дистрибутивно относительно сложения матриц) " a Î Р, А,B Î Р(n x m) .

Свойство 4. (ab) А = a(bА) " А Î Р(n x m), " a,b Î Р.