МИНОРЫ И ИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА.

Date: 2015-10-07; view: 380.

Пусть В — некоторая матрица размером n x n. В = ,и kÎN,

1 ≤ k ≤ n.

Выделим в матрице В k произвольных строк с номерами i₁, i₂, ..., i_k и k произвольных столбцов с номерами j_1, j₂, ..., j_k . Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу размером k x k. Определитель полученной матрицы называется минором к-того порядка матрицы В. Обозначим его через М. Элементы, не попавшие на пересечение, образуют матрицу размером (n-k) x (n-k). Определитель полученной матрицы называют минором, дополнительным к минору М. Обозначим его через М₁.

Введем еще следующую сумму: S_M = i₁+ i₂+ ...+i_k + j₁+ j₂+ ...+j_k. Сумма S_M — это сумма номеров выделенных строк и выделенных столбцов. Тогда

М₁= А_m называется алгебраическим дополнением к минору М.

Существует общий способ сведения вычисления определителей порядка n к вычислению определителей меньших порядков с применением понятия минора и алгебраического дополнения.

Теорема Лапласа.

Пусть В Î Р(n x n) — матрица порядка n, и 1 ≤ k < n. У матрицы В зафиксируем k произвольных строк. Тогда ее определитель равен сумме произведений всех миноров, содержащихся в выделенных строках, на их алгебраические дополнения, т.е. | B | = M1A1 + ... + MsAs.