ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Date: 2015-10-07; view: 356.

Пусть A = (aij) (n x n) квадратная матрица над полем Р.

Определение 1. Матрицу А будем называть вырожденной, если ее определитель равен 0. Матрицу А будем называть невырожденной в противном случае.

Определение 2. Пусть А Î Pn. Матрицу В Î Pn будем называть обратной к А, если АВ = ВА=Е.

Теорема (критерий обратимости матрицы).Матрица А обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Пусть, обратно, | A | ¹ 0. Надо показать, что существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е. В качестве В возьмем такую матрицу:

В = ,

где А_ij — алгебраическое дополнение к элементу а_ij . Тогда

АВ =

Следует заметить, что в результате получится единичная матрица (достаточно воспользоваться следствиями 1 и 2 из теоремы Лапласа), т.е. АВ = Е. Аналогично показывается, что ВА = Е. >

Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу, или доказать, что ее нет.

А =

det A = -3 Þ обратная матрица существует. Теперь считаем алгебраические дополнения.

А₁₁ = -3 А₂₁ = 0 А₃₁ = 6

А₁₂ = 0 А₂₂ = 0 А₃₂=-3

А₁₃ = 1 А₂₃ = -1 А₃₃ = -1

Итак, обратная матрица имеет вид: В = =

Алгоритм нахождения обратной матрицы для матрицы

1. Вычисляем det A.

2. Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. Если det A не равен

0, считаем алгебраические дополнения .

3. Ставим алгебраические дополнения на соответствующие места.

4. Все элементы получившейся матрицы делим на det A.