КОРНИ МНОГОЧЛЕНА.

Date: 2015-10-07; view: 371.

Пусть f(x) — некоторый многочлен над фиксированным полем P. f(x)=an x^n+…+a0ÎP[x]. И пусть c — некоторое число (не обязательно из P). Если мы подставим вместо x число c, то получим f(c) = an c^n+…+a0 — значение многочлена при x = c. Если f(x)=g(x), то f(c)=g(c).

Определение 1.Если f(c)=0, то с называют корнеммногочлена f(x) или корнем уравнения f(х)=0.

Разделим с остатком f(x) на (x-c): f(x)=(x-c)q(x)+r(x), где r(x)=0 и r(x)=aÎR, a¹0, то есть r(x) в любом случае число.

Следующая теорема позволяет найти остаток от деления f(x) на многочлен (x-a) не выполняя самого деления.

Теорема (Безу). Остаток от деления многочлена f(x) на многочлен (x-a) равен значению этого многочлена при x=a.

Следствие. а является корнем f(x) тогда и только тогда,когда (x-а) делит f(x).

< Þ f(a)=0 (т.к. а-корень). Значит по теореме Безу (x-a) делит

f(x) Ü f(x)=(x-a)f1(x). Очевидно f(a)=0. >

Это позволяет свести нахождение всех корней многочлена к нахождению делителя первой степени. Это можно сделать при помощи схемы Горнера.

Схема Горнера:

Пусть f(x)= a0 x^n +…+an. Разделим многочлен f(x) на x-a:

f(x)=(x-a ) f 1(x)+r (1)

где

f₁ (x)=b0 x(^n-1)+…+(b) (n-1).

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве (1):

x^n : a0=b0

x(^n-1) : a1=b1-a b0

x(^n-2) : a2=b2-a b1

…

x^0: an = r -a (b)(n-1).

Отсюда имеем:

b0=a0

b1=a1 + a b0

b2=a2+ a b1 (2)

… …

r= an +a (b)(n-1).

Для запоминания вычисления коэффициентов применяют схему Горнера. Делают таблицу следующего вида:

В первой строке этой таблицы выписывают один за другим все коэффициенты f(x), а во второе слева — элемент a. Коэффициенты частного f1(x) и остаток записывают последовательно во второй строке, согласно равенствам (2).