ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Date: 2015-10-07; view: 446.

29 – 30.

Теорема.Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого больше либо равна единице, имеет хотя бы один корень в поле комплексных чисел.

Следствие 1.Многочлен f(x) с любыми числовыми коэффициентами разлагается на линейные множители вида x-α над полем комплексных чисел, причем такое разложение однозначно с точностью до порядка следования сомножителей.

< Применяя теорему, получим:

f(x) = (x-α1) f1(x) = (x-α1) (x-α2) f2(x)=…=a (x-αi), a — коэффициент при старшей степени; П — произведение. >

Замечание 1. Это следствие решает задачу о разложении многочлена) на неприводимые множители над полем комплексных чисел.

Cледствие 2:Пусть f(x) — многочлен над полем вещественных чисел f(x) ÎR[x]; α Î C(комплексное число). Если α — корень f(x), то и — корень f(x). Если α — корень кратности k, то и — корень кратности k ( α называют корнем кратности k многочлена, если f(x) можно представить в виде:

, где .

Доказательство. Пусть

f(x) =an x^n +…a0 Î R[x], тогда

………………..

f(α)=an α^n+(a)(n-1) α(^n-1)+…+a0 =0

Отсюда следует, что

an( )^n + (a)(n-1)( )(^n-1) +…+ a0 .

Пусть α — корень кратности k (α — комплексное число, ), т.е. , — корень какой-то кратности l, т.е.

f(x) = (x- )^l f₂(x).

Докажем, что k=l.

Будем доказывать от противного, т.е. полагаем k¹l, например, k>1. Заметим, что α — корень f2(x), причем α — корень кратности k. Положим

p(x)=(x-α) (x- )=x² + px +q ÎR[x]. Имеем

f(x)= (x-α)^l (x-α)^l q(x) = (x^2+px+q)^l q(x).

Отсюда следует, что q(x) — многочлен с действительными коэффициентами и q(α) = 0, ибо мы предположили, что k>l. Отсюда сразу же следует, что q( )=0. А это противоречит тому, что — корень кратности l. Пришли к противоречию. Оно возникло из предположения, что k>l. Аналогично получим противоречие, если предположим, что k<l. >

Следствие 3: Пусть f(x)ÎR[x] многочлен с действительными коэффициентами, f(x) можно представить в виде произведения его старшего коэффициента, линейных множителей вида (x-α), где α соответствует действительным корням многочлена, и множителей вида x²+px+q, соответствующих парам комплексно-сопряженных корней.

< Cогласно следствию 1 f(x) можно представить в виде:

f(x) = a (x-α1)…(x-αk)(x-(α)(k+1))(x-(α)(k+1))…

Сначала запишем множители, соответствующие действительным корням, потом — множители, соответствующие парам комплексно-сопряженных корней.

Легко заметить, что многочлен (x-(α)(k+1))(x-( )(k+1))=x^2+p1x+q1ÎR[x] с действительными коэффициентами и так для каждой пары комплексно-сопряженных корней.