ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ

Date: 2015-10-07; view: 481.

ПОЛЕ. СВОЙСТВА ПОЛЯ

Определение. Коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором любой отличный от нуля элемент обратим, называется полем.

Простейшие свойства поля

1. Т.к. поле — кольцо, то все свойства колец переносятся и на поле.

2. В поле нет делителей нуля ,т.е. если ab=0 ,то a=0 или b=0.

Доказательство.

Если a¹0 ,то $ a^-1 . Рассмотрим a^-1 (ab)=( a^-1 a)b=0 , а если a¹0 ,то b=0, аналогично если b¹0

3. Уравнение вида a´x=b, a¹0, b – любое, в поле имеет единственное решение x= a^-1b, или х=b/a.

Решение этого уравнения называется частным.

Примеры.

1)PÌC, P — числовое поле.

2)P={0;1};

3) P={0;1;2} .

Не все свойства числовых полей сохраняются в случае произвольного поля. Так, складывая число 1 само с собою несколько раз, т.е. беря любое целое положительное кратное единицы, мы никогда не получим нуля. Если же мы будем брать целые кратные единицы в каком-либо конечном поле, то среди них непременно будут равные, т.к. это поле обладает лишь конечным числом различных элементов. Если все целые кратные единицы поля P являются различными элементами поля P, т.е. k°1¹m°1(здесь и далее за 1 обозначен элемент поля = единице) при k¹m, то говорят, что поле P имеет характеристику нуль(char P=0);таковы, например, все числовые поля. Если существуют такие целые k и m, что k>m, но в P имеет место равенство k°1=m°1, то (k-m) °1=0, т.е. в P существует такое положительное кратное единицы, которое оказывается равным нулю. В этом случае P называется полем положительной характеристики. Характеристикой поля в случае поля положительной характеристики называют наименьшее натуральное р, что единица сложенная р раз дает 0.

Cвойства характеристики

1) Если char P=p>0, то p — простое число.

Доказательство (от противного).

Пусть p не простое число, а составное, т.е. p=n°s, n>1,s>1 . Сложим единицу p раз: p°1=(n°1)·( s°1)=0 Þn○1=0 либо s○1=0. Ибо в поле нет делителей нуля, но n<p и s<p. Противоречие с выбором числа p.

2) a°p =0, " aÎP .

Любой элемент поля, сложенный р раз, где p — характеристика, равен нулю.

Доказательство:

a°p= =a° = a(p°1)=a×0=0