КОЛЬЦО. СВОЙСТВА КОЛЕЦ.

Date: 2015-10-07; view: 420.

Определение.Пусть К непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. Кназывается кольцом, если выполняются следующие условия:

1)К—абелевагруппа относительно сложения;

2) умножение ассоциативно;

3)умножение дистрибутивно относительно сложения.

Если умножение коммутативно, то К называют коммутативным кольцом. Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К называют кольцом с единицей.

Примеры.

1) Z,+,´ — коммутативное кольцо с единицей.

2) 2Z,+,´ — коммутативное кольцо без единицы.

3) P_n ,+, ´ — не коммутативное кольцо с единицей.

Простейшие свойства колец.

1. Так как К абелева группа относительно сложения, то на К

переносятся простейшие свойства групп.

2. Умножение дистрибутивно относительно разности:

a(b-c)=ab-ac.

Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то

a(b-c)=ab-ac.

3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,

что a=0 b=0.

Например, в кольце матриц размера 2´2, существуют элементы не

равные нулю такие, что их произведение будет нуль:

,где — играет роль нулевого элемента.

4. a·0=0·а=0.

Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0.

5. a(-b)=(-a)·b=-ab.

Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Если в кольце К существует единица и оно состоит более, чем из

одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный

элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении .

Доказательство (от противного). Предположим противное. Пусть 1=0.

Возьмем " aÎК, тогда a=a*1=a*0=0Þa=0. Значит кольцо состоит из

одного элемента. Противоречие с условием теоремы, ибо,|K|≥2.

7. Пусть К кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов

кольца образуют группу относительно умножения, которую называют

мультипликативной группой кольца K и обозначают K*.

Доказательство.

К^*¹Æ. Пусть aÎ K* и bÎ K*. Докажем, что abÎ K*. В самом деле

(ab)^-1=b^-1a^-1ÎK^*, ибо a^-1,b^-1ÎK^*.