ПОДГРУППА. КРИТЕРИЙ ПОДГРУППЫ.

Date: 2015-10-07; view: 406.

Определение.Пусть Г — группа c операцией ° и не пустое подмножество HÌГ, тогда H называют подгруппой группы Г, если H —группа относительно индуцированной операции °,т.е. выполняются условия:

1) H устойчиво относительно индуцированной операции °;

2) В H должен быть нейтральный элемент относительно индуцированной операции °;

3) В H должен быть симметричный элемент относительно индуцированной операции ° для любого hÎH.

Запись H £ Г означает, что H — подгруппа группы Г.

Примеры.

1) Г = (Z,+), H = {2Z,+}В этом случае обозначается H<Г.

2) SL(n,P) < GL(n,P).

Теорема (критерий подгруппы).Пусть Г — группа относительно операции°, ƹHÎГ. H является подгруппой тогда и только тогда, когда "h₁,h₂ÎH выполняется условие h₁°h₂'ÎH (где h₂' — симметричный элемент к h₂).

Доказательство.

Необходимость: Пусть H — подгруппа (нужно доказать, что h₁°h₂'ÎH). Возьмем h₁,h₂ÎH, тогда h₂'ÎH и h₁°h'₂ÎH (так как h'₂ — симметричный элемент к h₂).

Достаточность: (надо доказать, что H — подгруппа).

Раз H¹Æ , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hÎH, n=h°h'ÎH, т.е. нейтральный элемент nÎH. В качестве h₁ берем n, а в качестве h₂ возьмём h тогда h'ÎH Þ " hÎH симметричный элемент к h также принадлежит H.

Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.

Возьмём h₁ , а в качестве h₂ возьмём h'₂ Þ h₁°(h₂') ' ÎH, Þ h₁°h₂ ÎH.

Пример.

Г=S_n, n>2, α — некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S^α_n ={fÎ S_n ,f(α)=α}, при действии отображения из S^α_n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h₁,h₂ÎH. Произведение h₁^.h₂'ÎH, т.е H — подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.